II. Движение в полярных координатах.

Задача 5. Точка A движется в плоскости (x, y), причём закон её движения задан в полярных координатах: r=r(t), φ=φ(t).

Определить скорость и ускорение точки.

Проведём дополнителные координатные оси ζ и η вдоль радиус-вектора и перпендикулярно ему как показано на Рис. 5. Обозначим посредством e_ζ  и e_η “новые” единичные векторы вдоль осей ζ и η соответственно. Компонента любого вектора вдоль оси ξ называется радиальной, а вдоль оси η — трансверсальной. Если точка движется не по прямой линии, то векторы e_ζ и e_η со временем меняют своё направление. Этим они отличаются от постоянных ортов iи j. Связь между двумя базисами даётся известной формулой вращения системы координат:

.

Дифференцируя первую строчку по времени и сравнивая результат со второй строкой, приходим к следующему выражению для :

.

Радиус-вектор, по построению, коллинеарен e_ζ::

.

При вычислении вектора скорости в полярных координатах необходимо учитывать изменение направления орта :

. ( 8 )

Проекция  называется азимутальной, а проекция  - трансверсальной скоростью. Аналогичным образом вычисляется вектор ускорения:

.                                          (9)

Описание движения во вращающейся системе отсчёта приобретает новые аспекты. В последней формуле  и  имеют тот же смысл, что и в декартовой системе. Член с  описывает центростремительное ускорение точки, неподвижной относительно вращающейся системы отсчёта, а слагаемое  - кориолисово ускорение.

Задача 6. Исходя из первого и второго законов Кеплера, определить ускорение планеты.

Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце. Угол j отсчитываем от направления перигелия. Уравнение эллипса с эксцентриситетом e и параметром p в полярных координатах имеет вид:

,                                                                                             (10)

Второй закон Кеплера утверждает постоянство секторной скорости. Введём константу

                                                                                                            (11)

Перепишем формулу (9) Задача 5 в виде

.                                                                            ( 12 )

Легко видеть, что трансверсальная компонента вектора ускорения равна нулю. Ускорение направлено вдоль радиус–вектора Вычислим проекцию вектора w на ось ξ:

                                                                                                                (13)

Вводим новую переменную u=1/r и воспользуемся формулой Бинэ:

,                                                                                                  (14)

где введено обозначение = du/dφ. Для вычисления правой части достаточно знать функцию r(φ). Для вывода формулы Бинэ выразим скорость изменения r через :

.

Воспользовавшись определениями  и K, перепишем последнее уравнение в форме:

,                                                                                                          ( 15 )

а дифференцируя его по времени с учётом ( 11 ) получаем

.                                                                                                   ( 16 )

Подставляя в ( 13 ) полученные выражения для  и  , приходим к ( 14 ). Теперь с помощью формулы Бинэ получаем окончательное выражение для w_ξ:

.

Итак, со стороны Солнца на планету действует притягивающая сила .

Задача 7. Планета движется по эллипсу с эксцентриситетом ε. Зная её скорость v₁ в перигелии, определить скорость v₂ в афелии.

В этих двух точках орбиты ( и только в них ) скорость и радиус–вектор взаимно ортогональны. Следовательно, здесь модуль скорости v равен её трансверсальной компоненте: . Точке перигелия , согласно ( 10 ), соответствует значение φ равное нулю, а в точке афелия φ = π. Из постоянства секторной скорости вытекает равенство

.

Воспользовавшись ( 10 ), приходим к окончательному результату:

.

Задача 8. Показать, что квадрат скорости планеты равен

,

где a — длина большой полуоси. Из формулы ( 8 ) Задача 5 следует

.                                                                                                               ( 17 )

Вычислив  по формуле ( 15 ) Задача 6, получаем

.

Здесь также учтено .Уравнение траектории ( 10 ) позволяет выразить sin² φ через r:

.

Подставив это значение в предыдущую формулу с учётом соотношения , приходим к искомому результату.

Задача 9. Частица движется к притягивающему центру по плоской траектории

,                                                                                                               ( 18 )

где r и φ — известные функции времени. В начальный момент времени угол φ равен нулю, а скорость тела направлена перпендикулярно радиус‑вектору и по абсолютной величине равна v₀. Полагаем, что сохраняется постоянной секторная скорость, то есть справедлива формула ( 11 ). Определить зависимость скорости от расстояния r до притягивающего центра, а также трансверсальную и радиальную компоненты ускорения.

Из начальных условий определим значение константы K=2av₀. Согласно ( 12 ), трансверсальное ускорение равно нулю вследствие постоянства секторной скорости. Таким образом, притягивающая сила направлена вдоль радиус‑вектора. Радиальную компоненту вычислим двумя способами. Сначала выполним прямые расчёты по формуле ( 13 ) Задача 6. Из ( 15 ) и ( 16 ) следуют выражения для  и :

откуда

.

Теперь с помощью ( 18 ) выражаем cosφ и sin²φ через a и r :

.

Окончательно

.

Теперь воспользуемся формулой Бинэ ( 14 ) и уравнением траектории ( 18 ):

Подставляя в ( 14 ) полученное выражение для , после простых преобразований приходим к тому же выражению для ускорения:

.

Связь между модулями скорости и радиус‑вектора проще всего вычислить с помощью формулы ( 17 ):

.

Задача 10. Точка движется в плоскости по закону

с параметрами r₀ и a. Определить траекторию, скорость и обе компоненты ускорения.

Исключив время t,получим изображённую на Рис. 6 гиперболическую спираль

. По формуле ( 17 ) вычисляем модуль скорости:

.

Начальный наклон траектории на Рис. 6 определяется соотношением между двумя компонентами скорости. По формуле ( 8 ) легко найти, что для начального момента времени: . Траектория направлена противоположно оси абсцисс и наклонена к ней под углом 45˚. В рассматриваемой задаче величина секторной скорости постоянна:

.

Следовательно, трансверсальное ускорение равно нулю; т.е. притягивающая сила направлена вдоль радиус‑вектора. По формуле ( 13 ) определим радиальное ускорение

.

Таким образом, частица падает на притягивающий центр под действием силы, обратно пропорциональной кубу расстояния.