Целые функции (многочлены) и их основные свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел

 

Целой функцией или алгебраическим многочленом (полиномом) аргумента x называется функция вида

 

.(1)

 

Здесь n – степень многочлена (натуральное число или 0),

x – переменная (действительная или комплексная),

a0, a1, …, an – коэффициенты многочлена(действительные или комплексные числа),причем, a0 ¹ 0

Примеры

 

;

;

,  – квадратный трехчлен;

, ;

.

 

Определение алгебраического уравнения -й степени

 

Уравнение называется алгебраическим уравнением n-й степени относительно неизвестной x, если его левая часть является многочленом степени n относительно переменной x:

Pn(x) = 0, (2)

 

Число х0 такое, что Pn(x0) º 0, называется нулем функции Pn(x) или корнем уравнения .

Примеры

1)  – алгебраическое уравнение первой степени,

его корень ;

2)  – алгебраическое уравнение седьмой степени,

его корни , , .

3) числа  и  являются нулями функции , так как  и .

Замечание

В литературе часто нули функции  называются ее корнями. Например, числа  и  называются корнями квадратичной функции .

 

Основные свойства многочленов (Перечислите основные свойства многочленов)

Свойство 1 (о тождественном равенстве многочленов)

Два многочлена одной степени n тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда совпадают их коэффициенты при одинаковых степенях переменной x, то есть

 

(3)

.

 

Доказательство

w Тождество (3) справедливо при "x Î  (или "x Î )

Þ оно справедливо при ; подставляя , получим аn = bn.

Взаимно уничтожим в (3) слагаемые аn и bn и поделим обе части на x:

 

.(3’)

 

Это тождество тоже верно при "x, в том числе при x = 0

Þ полагая x = 0, получим аn – 1 = bn – 1.

Взаимно уничтожим в (3') слагаемые аn – 1 и a n – 1 и поделим обе части на x, в результате получим

 

.

 

Аналогично продолжая рассуждение, получим, что аn – 2 = bn –2, …, а0 = b0.

Таким образом, доказано, что из тождественного равенства 2-x многочленов следует совпадение их коэффициентов при одинаковых степенях x.

Обратное утверждение справедливо очевидно, т.е. если два многочлена имеют одинаковыми все коэффициенты, то они есть одинаковые функции, следовательно, их значения совпадают при всех значениях аргумента, что и означает их тождественное равенство. Свойство 1 доказано полностью. v

Пример

 

 при .

 

Свойство 2 ( о делении многочлена на разность (x – х0) )

Теорема Безу

При делении многочлена Pn(x) на разность (x – х0) получается остаток, равный Pn(x0), то есть

 

 Теорема Безу,(4)

 

гдеQn – 1(x) — целая часть от деления, является многочленом степени (n – 1).

Доказательство

w Запишем формулу деления с остатком:

Pn(x) = (x – х0)∙Qn – 1(x) + A,

 

гдеQn – 1(x) — многочлен степени (n – 1),

A — остаток, который является числом вследствие известного алгоритма деления многочлена на двучлен «в столбик».

Это равенство верно при "x, в том числе при x = х0 Þ

Pn(x0) = (x0 – x0)×Qn – 1(x0) + A Þ

A = Pn(х0), ч.т.д. v

 

Следствие из теоремы Безу. О делении многочлена на двучлен без остатка

Если число х0 является нулем многочлена, то этот многочлен делится на разность (x – х0) без остатка, то есть

 

Þ .(5)

 

Примеры

1) , так как P3(1) º 0

Þ .

2) , так как P4(–2) º 0

Þ .

3) , так как P2(–1/2) º 0

Þ .

 

Деление многочленов на двучлены «в столбик»:

 

_

_

_

_

_