Модуль и аргумент комплексного числа (Что такое модуль и аргумент комплексного числа?)

Содержание

 

§ 1.Комплексные числа: определения, геометрическая интерпретация, действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах

Определение комплексного числа

Комплексные равенства

Геометрическое изображение комплексных чисел

Модуль и аргумент комплексного числа

Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа

Арифметические действия над комплексными числами

Показательная форма комплексного числа

Формулы Эйлера

§ 2.Целые функции (многочлены) и их основные свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел

Определение алгебраического уравнения -й степени

Основные свойства многочленов

Примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел

Вопросы для самопроверки

Глоссарий

 

Комплексные числа: определения, геометрическая интерпретация, действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах

Определение комплексного числа (Сформулируйте определение комплексного числа)

 

Комплексным числом z называется выражение следующего вида:

 

 Комплексное число в алгебраической форме,(1)

 

Где x, y Î;

i — это мнимая единица, определяемая равенством i2 = –1.

Основные термины:

x = Re z — действительная часть комплексного числа z;

y = Im z — мнимая часть комплексного числа z;

 — комплексно сопряженное число числу z;

 — противоположное число числу z;

 — комплексный ноль;

 – так обозначается множество комплексных чисел.

Примеры

 

1)z = 1 + i Þ Re z = 1, Im z = 1, = 1 – i, = –1 – i;

2)z = –1 + i Þ Re z = –1, Im z = , = –1 – i, = –1 – i;

3)z = 5 + 0i = 5 Þ Re z = 5, Im z = 0, = 5 – 0i = 5, = –5 – 0i = –5

Þ если Im z = 0, то z = x — действительное число;

4)z = 0 + 3i = 3i Þ Re z = 0, Im z = 3, = 0 – 3i = –3i, = –0 – 3i = – 3i

Þ если Re z = 0, то z = iy — чисто мнимое число.

Комплексные равенства (Сформулируйте смысл комплексного равенства)

 

1) ;

2) .

 

Одно комплексное равенство равносильно системе двух действительных равенств. Эти действительные равенства получаются из комплексного равенства разделением действительных и мнимых частей.

Примеры

 

1) ;

2) .

Геометрическое изображение комплексных чисел (В чём состоит геометрическое изображение комплексных чисел?)

 

 

Комплексное число z изображается точкой (x, y) на комплексной плоскости или радиус-вектором этой точки.

Знак z во второй четверти означает, что система декартовых координат  будет использоваться как комплексная плоскость.

 

Модуль и аргумент комплексного числа (Что такое модуль и аргумент комплексного числа?)

 

Модулем комплексного числа  называется неотрицательное действительное число

 

.(2)

 

Геометрически модуль комплексного числа — это длина вектора, изображающего число z, или полярный радиус точки (x, y).

Аргумент комплексного числа z— это угол между положительным направлением действительной оси и вектором z (геометрически – это полярный угол точки (x, y)).

Обозначение , причем , или .

Для вычисления аргумента комплексного числа используется формула

 

 Аргумент комплексного числа ,(3)

 

причем, при определении угла  по его тангенсу обязательно нужно учитывать, в какой четверти на комплексной плоскости расположено число z: