Глобальный экстремум (наибольшее и наименьшее значение функции)

Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных, непрерывной на некотором замкнутом множестве, достигаются или в точках экстремума, или на границе множества.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений.

1) Найти критические точки, лежащие внутри области, вычислить значение функции в этих точках.

2) Исследовать функцию на границе области; если граница состоит из нескольких различных линий, то исследование необходимо провести для каждого участка отдельно.

3) Сравнить полученные значения функции и выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 52. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в прямоугольнике .

Решение. 1) Найдем критические точки функции, для этого найдем частные производные: , и решим систему уравнений:

Получили критическую точку A . Полученная точка лежит внутри заданной области,

Границу области составляют четыре отрезка:  и . найдем наибольшее и наименьшее значение функции на каждом отрезке.

4) Сравним полученные результаты и получим, что  в точках .

Глава 6. Модель потребительского выбора

Будем полагать, что имеется n различных товаров. Тогда некоторый набор товаров будем обозначать через n-мерный вектор , где  – количество i-того товара . Множество всех наборов товаров X называется пространством.

Выбор индивида-потребителя характеризуется отношением предпочтения: считается, что потребитель может сказать о любых двух наборах, какой более желателен, или он не видит между ними разницы. Отношение предпочтения транзитивно: если набор  предпочтительнее набора , а набор  предпочтительнее набора , то набор  предпочтительнее набора . Будем полагать, что поведение потребителя полностью описывается аксиомой индивида-потребителя: каждый индивид-потребитель принимает решение о потреблении, покупках и т.п., исходя из своей системы предпочтений.

Функция полезности

На множестве потребительских наборов X определена функция , значение которой на потребительском наборе  равно потребительской оценке индивида для этого набора. Функция  называется функцией полезности потребителя или функцией потребительского предпочтения. Т.е. каждый потребитель имеет свою функцию полезности. Но все множество потребителей можно разделить на определенные классы потребителей (по возрасту, имущественному положению и т.п.) и каждому классу приписать некоторую, может быть, осредненную функцию полезности.

Т.о., функция  является потребительской оценкой или уровнем удовлетворения потребностей индивида при приобретении данного набора . Если набор  предпочтительнее набора  для данного индивида, то .

Свойства функции полезности.

1.

Первые частные производные функции полезности называются предельными полезностями продуктов. Из этого свойства следует, что возрастание потребления одного продукта при неизменном потреблении других продуктов приводит к росту потребительской оценки. Вектор  является градиентом функции , он показывает направление наибольшего роста функции. Для функции  ее градиент представляет собой вектор предельных полезностей продуктов.

2.

Т.е. предельная полезность любого товара уменьшается с ростом потребления.

3.

Т.е. предельная полезность каждого продукта увеличивается с ростом количества другого продукта.

Некоторые виды функций полезности.

1) Неоклассическая: .

2) Квадратическая: , где матрица отрицательно определена и  для .

3) Логарифмическая функция: .

Линии безразличия

В прикладных задачах и моделях потребительского выбора часто используется частный случай набора из двух товаров, т.е. когда функция полезности зависит от двух переменных. Линия безразличия – это линия, соединяющая потребительские наборы, имеющие один и тот же уровень удовлетворения потребностей индивида. По сути своей линии безразличия представляют собой линии уровня функции . Уравнения линий безразличия: .

Основные свойства линий безразличия.

1. Линии безразличия, соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей, не касаются и не пересекаются.

2. Линии безразличия убывают.

3. Линии безразличия выпуклы вниз.

Из свойства 2 следует важное приближенное равенство .

Это соотношение показывает, на сколько индивид должен увеличить (уменьшить) потребление второго продукта при уменьшении (увеличении) потребления первого продукта на одну единицу без изменения уровня удовлетворения своих потребностей. Отношение  называется нормой замены первого продукта вторым, а величина  – предельной нормой замены первого продукта вторым.

Пример 53. Если предельная полезность первого товара равна 6, а второго – 2, то при уменьшении потребления первого товара на единицу нужно увеличить потребление второго товара на 3 единицы при том же уровне удовлетворения потребностей.

Бюджетное множество

Пусть  – вектор цен на набор из n продуктов ; I – доход индивида, который он готов потратить на приобретение набора продуктов . Множество наборов товаров стоимостью не более I при данных ценах  называется бюджетным множеством B. При этом множество наборов стоимостью I называется границей G бюджетного множества B. Т.о. множество B ограничено границей G и естественными ограничениями .

Бюджетное множество описывается системой неравенств:

.

Рис. 1

Для случая набора из двух товаров бюджетное множество B (рис. 1) представляет собой треугольник в системе координат , ограниченный осями координат и прямой .