Определение производной

 

Определение производной

Производная  или  от данной функции  есть предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

 

 или .

 

Механический смысл производной – скорость изменения функции. Геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной к графику функции:

 

Основные правила дифференцирования

 

Наименование	Функция	Производная
Умножение на постоянный множитель
Алгебраическая сумма двух функций
Произведение двух функций
Частное двух функций
Сложная функция

 

Производные основных элементарных функций

№ п/п	Наименование функции	Функция и её производная
1	константа
2	степенная функция  частные случаи
3	показательная функция  частный случай
4	логарифмическая функция  частный случай
5	тригонометрические функции
6	обратные тригонометрические функции

 

Пример 17

 

а)

б)

в)

Производные высших порядков

 

Производная второго порядка функции

Производная второго порядка функции :

 

 

Пример 18.

а) Найти производную второго порядка функции .

Решение. Найдем сначала производную первого порядка .

От производной первого порядка возьмем еще раз производную .

Пример 19. Найти производную третьего порядка функции .

Решение.

 

.

Исследование функций

2.4.1 План полного исследования функции:

План полного исследования функции:

1. Элементарное исследование:

- найти область определения и область значений;

- выяснить общие свойства: четность (нечетность), периодичность;

- найти точки пересечения с осями координат;

- определить участки знакопостоянства.

2. Асимптоты:

- найти вертикальные асимптоты , если ;

- найти наклонные асимптоты: .

Если  любое число, то – горизонтальные асимптоты.

3. Исследование с помощью :

- найти критические точки, те. точки в которых  или не существует;

- определить интервалы возрастания, те. промежутки, на которых и убывания функции – ;

- определить экстремумы: точки, при переходе через которые  меняет знак с «+» на «–», являются точками максимума, с «–» на «+» – минимума.

4. Исследование с помощью :

- найти точки, в которых  или не существует;

- найти участки выпуклости, т.е. промежутки, на которых  и вогнутости – ;

- найти точки перегиба, т.е. точки при переходе через которые  меняет знак.

5. Построение графика функции.

Рекомендации по применению плана исследования функции:

1. Отдельные элементы исследования наносятся на график постепенно, по мере их нахождения.

2. Если появляются затруднения с построением графика функции, то находятся значения функции в некоторых дополнительных точках.

3. Целью исследования является описание характера поведения функции. Поэтому строится не точный график, а его приближение, на котором четко обозначены найденные элементы (экстремумы, точки перегиба, асимптоты и т.д.).

4. Строго придерживаться приведенного плана необязательно; важно не упустить характерные элементы поведения функции.

2.4.2 Примеры исследования функции:

 

20. .

 

1)

2) Функция нечетная:

 

.

 

3) Асимптоты.

 – вертикальные асимптоты, т.к.

 

 

Наклонная асимптота .

 

 

5)

 

 

 – точка перегиба.

 

Схематичный график данной функции:

 

 

21.

 

1)  

2) Функция нечетная:

 

 

3) Асимптоты: Вертикальных асимптот нет.

Наклонные:

 

– наклонные асимптоты

4)  – функция возрастает.

5) ,

 

 – точка перегиба.

Схематичный график данной функции:

 

 

22.

 

1)

2) Функция общего вида

3) Асимптоты

 

 – наклонных асимптот нет

 

 – горизонтальная асимптота при

 

4)

 

 

 

 

 – точка перегиба

 

 

Схематичный график данной функции:

23.  

 

1)

2) Асимптоты.

 – вертикальная асимптота, т.к.

 

 – наклонных асимптот нет

,  – горизонтальная асимптота

 

Схематичный график данной функции:

24.

 

1)

2) Асимптоты

 – вертикальная асимптота при , т.к.

 

 – наклонных асимптот нет

,  – горизонтальная асимптота

3)  – функция убывает на каждом из промежутков.

 

Схематичный график данной функции:

 

2.4.3 Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке можно воспользоваться схемой:

1. Найти производную функции .

2. Найти критические точки функции, в которых  или не существует.

3. Найти значение функции в критических точках, принадлежащих заданному отрезку и на его концах и выбрать из них наибольшее  и наименьшее .

Пример. Найти наименьшее и наибольшее значение функции на данном отрезке.

 

25.  на промежутке

1)

2)  – критические точки

3) ,

 –

 –

26.  на промежутке .

 

Производная не существует при , но 1 не принадлежит данному промежутку. Функция  убывает на промежутке , значит, наибольшего значения нет, а наименьшее значение .

Правило Лопиталя

 

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Т.е. при раскрытии неопределенностей вида или  можно использовать формулу:

 

.

 

Примеры.

 

27.

28.