Производные основных элементарных функций:

( c ) ¢ =0; ( x ) ¢ =1

простые	сложные
степенная	степенная (un) ¢ =nun-1u ¢
показательная ( ex ) ¢ = ex ( ax ) ¢ = axlna	показательная ( eu ) ¢ = euu ¢ ( au ) ¢ = aulna * u ¢
логарифмическая ( ln x ) ¢ = ( logax ) ¢ =	логарифмическая ( ln u ) ¢ = ( logau ) ¢ =
тригонометричекая ( sin x ) ¢ = cos x ( cos x ) ¢ =- sin x (tg x) ¢ = ( ctg x ) ¢ =	тригонометричекая ( sin u ) ¢ = cos u * u ¢ (cos u) ¢ =-sin u * u ¢ (tg u) ¢ = (ctg u) ¢ =

СУММЫ ПРОГРЕССИЙ,

ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

 

Арифметическая прогрессия

,где d – разность;

.

Геометрическая прогрессия

;

.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

;

Значения тригонометрических функций

a	0	p/6 (30°)	p/4 (45°)	p/3 (60°)	p/2 (90°)	2p/3 (120°)	3p/4 (135°)	5p/6 (150°)	p (180°)
sina	0	1/2	/2	/2	1	/2	/2	1/2	0
cosa	1	/2	/2	1/2	0	-1/2	- /2	- /2	-1
tga	0	/3	1		-	-	-1	- /3	0
ctga	-		1	/3	0	- /3	-1	-	-

 

a	7p/6 (210°)	5p/4 (225°)	4p/3 (240°)	3p/2 (270°)	5p/3 (300°)	7p/4 (315°)	11p/6 (330°)	2p (360°)
sina	-1/2	/2	/2	-1	- /2	- /2	-1/2	0
cosa	- /2	/2	1/2	0	1/2	/2	/2	1
tga	/3	1		-	-	-1	- /3	0
ctga		1	/3	0	- /3	-1	-	-

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ y = f ( x ) И ПОСТРОЕНИЕ ЕЕ ГРАФИКА

Схема исследования:

1. Найти область определения функции (ООФ – значения переменной х, при которых функция существует).

 

2. Исследовать функцию на четность – нечетность:

Если f (- x )= f ( x ), то функция четная (график симметричен относительно оси Оy).

Если f (- x )=- f ( x ), то функция нечетная (график симметричен относительно начала координат).

 

3. Найти вертикальные асимптоты.

!!! Вертикальные асимптоты х=х₀ следует искать в точках разрыва функции y = f ( x ) или на концах ее области определения ( a , b ), если a и b - конечные числа.

Пусть функция y = f ( x ) определена в некоторой окрестности точки х₀ (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при х ® х₀-0 (слева) или х ® х₀+0 (справа) – равен бесконечности, т.е. lim f ( x )= или lim f ( x )= . Тогда прямая х=х₀ является вертикальной

х ® х₀-0                            х ® х₀+0

асимптотой графика функции y = f ( x ).

 

4. Найти горизонтальные асимптоты (исследовать поведение функции в бесконечности).

Пусть функция y = f ( x ) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции lim f ( x )= b.

Тогда прямая y = b есть Х

горизонтальная асимптота графика функции y = f ( x ).

Замечание. Если конечен только один из пределов lim f ( x )= b _л

или Х

lim f ( x )= b _п, то функция имеет левостороннюю y = b _л

или правостороннюю Х

y = b _п  горизонтальную асимптоту.

 

5. Найти наклонную асимптоту.

Пусть функция y = f ( x ) определена при достаточно больших х и существуют конечные пределы функции lim и lim [ f ( x )- kx ]= b

Х                   Х

Тогда прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графика функции y = f ( x ).

!!! Наклонная асимптота, так же, как и горизонтальная, может быть правосторонней или левосторонней.

 

6. Найти экстремумы (максимум, минимум) и интервалы монотонности (возрастание, убывание) функции.

- найти производную функции (разложить ее на множители) и приравнять ее к 0, т.е. ;

- найти корни этого уравнения и точки, в которых производная не существует (критические точки);

- исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции (найти ординаты точек экстремума!);

- на промежутке, где  - функция возрастает; на промежутке, где  - функция убывает.

 

7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

!!! Уравнение оси Ох: y=0.

Уравнение оси Oy: х=0.

 

8. Используя результаты исследования, построить график функции.