Умножение матрицы на число

Каждый элемент матрицы умножается на это число.

Пример:

, 0,5 .

Сложение матриц

!!! Можно складывать матрицы только одинаковых размеров.

Матрицы складываются поэлементно.

Пример:

.

 

Вычитание матриц

!!! Можно вычитать матрицы только одинаковых размеров.

Матрицы вычитаются поэлементно.

Пример:

.

 

Умножение матриц

!!! Матрицу А можно умножить на матрицу В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Произведением матрицы  называется такая матрица , каждый элемент которой c_ij равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

 

Возведение в степень

Целой положительной степенью А ^m ( m >1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц равных А, т.е.

.

Пример:

, найти А².

 

Транспонирование матрицы

Транспонированная матрица – матрица, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Обозначается .

Пример:

.

Обратная матрица

Определение: Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица, т.е.

.

!!! Обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная (т.е. определитель матрицы отличен от нуля).

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. Находим определитель матрицы, т.е. .

2. Находим транспонированную матрицу , т.е. .

3. Находим присоединенную матрицу, т.е  (матрица, состоящая из алгебраических дополнений к элементам транспонированной матрицы).

4. Вычисляем обратную матрицу по формуле .

5. Проверяем правильность вычисления, исходя из определения обратной матрицы.

Ранг матрицы

Определение: Ранг матрицы – это наивысший порядок, отличных от 0, миноров матрицы.

!!! Чтобы найти ранг матрицы нужно сначала привести матрицу с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду (все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны 0).

Элементарными называются следующие преобразования матриц:

1) умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;

3) перемена местами строк (столбцов) матрицы;

4) отбрасывание строк (столбцов) матрицы, все элементы которых равны нулю.

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

На практике часто сталкиваемся с задачей о сглаживании экспериментальных зависимостей.

Пусть зависимость между двумя переменными x и y выражается в виде таблицы, полученной опытным путем. Это могут быть результаты опыта или наблюдений, статистической обработки материала и т.п.

 

xi	x1	x2	…	xn
yi	y1	y2	…	yn

 

Требуется наилучшим образом сгладить экспериментальную зависимость между переменными x и y , т.е. по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости y от x , исключив при этом случайные отклонения, связанные с неизбежными погрешностями измерений или статистических наблюдений. Такую сглаженную зависимость стремятся представить в виде формулы y = f ( x ) – эмпирическая формула.

Задача нахождения эмпирической формулы разбивается на два этапа:

- устанавливается вид зависимости y = f ( x ), т.е. решить, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой-либо другой (в нашей задаче зависимость линейная - y = ax + b );

- определение неизвестных параметров этой функции по методу наименьших квадратов, согласно которому, в качестве неизвестных параметров функции f ( x ) выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов отклонений «теоретических» значений f ( x_i ), найденных по эмпирической формуле y = f ( x ), от соответствующихопытных значений была минимальной, т.е.

(в нашей задаче ).

В результате решения такой экстремальной задачи с помощью частных производных:

,

получаем систему нормальных уравнений, из которой находим параметры a и b линейной зависимости:

.

НЕОБХОДИМЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ

Определение: Функция F ( x ) называется первообразной для функции f ( x ) на промежутке Х, если в каждой точке этого промежутка F ¢ ( x )= f ( x ).

Определение: Совокупность всех первообразных для функции f ( x ) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f ( x ) и обозначается , т.е.

.

Формула Ньютона-Лейбница (для вычисления определенных интегралов):

Формула для вычисления дифференциала функции y = f ( x ):

dy = f ¢ ( x ) dx .

Некоторые свойства неопределенного и определенного интегралов:

Н.и. , где с – некоторое число,

О.и. , где с – некоторое число;

Н.и. ,

О.и. .

 

!!! Неопределенный интеграл находится приведением интеграла к табличному (сумме табличных) с помощью этих двух свойств или с помощью таких приемов, как методы интегрирования заменой переменных и по частям.

Формула замены переменной в неопределенном интеграле:

, где  - функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Формула замены переменной в определенном интеграле:

, где  - функция имеет непрерывную производную на отрезке [ a , b ].

Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле:

,

где u = u ( x ), v = v ( x ) – дифференцируемые функции переменной х.

При этом  

Постоянную С в выражении для v в формуле интегрирования по частям полагают равной 0.

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле:

,

где u = u ( x ), v = v ( x ) – функции, имеющие непрерывные производные на отрезке [ a , b ].

Табличные интегралы

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Определение. Пусть дана квадратная матрица второго порядка

.

Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое по правилу:

.

Определение. Пусть дана квадратная матрица третьего порядка

.

Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим данной матрице, называют число, получаемое по правилу:

.

Для того, чтобы запомнить, какие произведения в правой части соотношения следует брать со знаком “+”, какие – со знаком “–”, полезно следующее графическое правило, называемое правилом треугольников:

 

                      – со знаком “+”;                           – со знаком “–”.

 

 

ПРЕДЕЛЫ

 

Основные понятия и определения

Определение: Функция называется бесконечно малой величиной (БМВ) при  или при , если ее предел равен нулю:

.

Свойства бесконечно малых величин:

- алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая;

- произведение БМВ на ограниченную функцию есть БМВ;

- частное от деления БМВ на функцию, предел которой отличен от 0, есть БМВ.

Определение: Функция называется бесконечно большой величиной (ББВ) при  или при , если ее предел равен бесконечности.

!!! Если  - БМВ при  или при , то функция  является ББВ при  или при . Верно и обратное утверждение.

Свойства бесконечно больших величин:

- сумма ББВ и ограниченной функции, есть ББВ;

- произведение ББВ на функцию, предел которой отличен от 0 есть ББВ;

- частное от деления ББВ на функцию, имеющую предел, есть ББВ.