Краткие сведения из теории

Цель работы

Необходимо установить зависимости выходной величины от входных. Проверить адекватность и достоверность полученных результатов. Найти показатели качества множественной регрессии.

Краткие сведения из теории

Метод наименьших квадратов (МНК) - математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных. Он может использоваться для «решения» переопределенных систем уравнений (когда количество уравнений превышает количество неизвестных), для поиска решения в случае обычных (не переопределенных) нелинейных систем уравнений, для аппроксимации точечных значений некоторой функции. МНК является одним из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным.

Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.

Основной принцип действия с нелинейной моделью состоит в попытке преобразования ее к линейной. После чего осуществляется оценка параметров и проверка качества полученной линеаризованной модели стандартными методами.

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитываются показатели качества уравнения множественной регрессии.

Для построения модели множественной регрессии часто используют линейную модель:

                                             (1)

где  – свободный член уравнения;

, ,…,  – коэффициенты множественной регрессии;

, ,…, - значения факторных признаков.

_.В уравнениях регрессии параметр показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов.

Параметр называется коэффициентом регрессии и показывает, насколько в среднем отклоняется величина результативного признака y при отклонении величины факторного признака x на одну единицу.

Значение независимых переменных запишем в виде прямоугольной матрицы размерности n (p+1):

Каждому столбцу этой матрицы отвечает набор из n значений одного из факторов, а первый столбец состоит из единиц, которые соответствуют значениям переменной при свободном члене.

В матричном виде соотношение (1) примет вид:

                                                                                        (2)

е – вектор случайных ошибок;

Х – матрица факторов;

Y – вектор наблюдений зависимой переменной у.

Согласно методу наименьших квадратов:

                           (3)

где , т. е. надстрочный знак Т означает транспонированную матрицу.

Можно показать, что предыдущее условие выполняется, если вектор-столбец коэффициентов В найти по формуле:

                                                                                         (4)

которая в системе MATLAB реализуется операцией B = X\Y.

Здесь  – матрица, транспонированная к матрице X,

 – матрица, обратная к .

Показатели качества уравнения множественной регрессии.

1. Наиболее общим показателем качества множественной регрессии является остаточная сумма квадратов.

(5)

где  – экспериментальные данные выходного параметра;

 – расчетные данные выходного параметра;

i – номер наблюдения.

2. Стандартная ошибка регрессии (с учетом коэффициента )

(6)

2.1 Стандартная ошибка регрессии (без учета коэффициента )

(6.1)

где m - число факторов;

n – число наблюдений.

3. Разброс вокруг среднего значения

	(7)
где  – соответствует среднему значению выходного параметра.

4. Основным показателем оценки качества регрессии является коэффициент детерминации

(8)

5. Критерий Фишера

(9)

В регрессионном анализе критерий Фишера позволяет оценивать значимость линейных регрессионных моделей.

Уравнение регрессии адекватно описывает результаты эксперимента, если полученное по формуле значение F больше табличного значения критерия Фишера F_T, определяемого при принятом уровне значимости q и числах степеней свободы v₄ и v₃. Согласно выражениям v₄=N-1 и v₃=N-m.

Если условие F > FT выполняется, это означает, что уравнение регрессии описывает результаты эксперимента в F_T раз лучше модели среднего. Регрессионная модель адекватна.

Так же рассчитываем остаточную дисперсию σ и относительную погрешность:

	(10)
	(11)