Уравнения регрессии для трехмерной корреляционной модели

I. При фиксировании значения одной случайной величины в системе случайных величин  трехмерное нормальное распределение данных величин становится условным двумерным нормальным распределением, определяемым пятью параметрами.

Если фиксировано, например, значение  случайной величины , то условное двумерное нормальное распределение  характеризуется следующими параметрами:

; ;

; ;

.

Линейная корреляционная зависимость между величинами  при фиксированном значении  случайной величины  графически выражается прямыми регрессии в плоскости :

;

.

II. При фиксированных значениях двух переменных в системе случайных величин  трехмерное нормальное распределение есть определяемое двумя параметрами условное одномерное нормальное распределение соответствующей переменной.

В частности, при фиксированных значениях  компонент двумерного случайного вектора  совместное распределение переменных  становится условным одномерным нормальным распределением случайной величины , параметрами которого являются условное математическое ожидание

и условная дисперсия , совпадающая с  - остаточной дисперсией относительно плоскости регрессии  на :

.

Уравнение регрессии  на  может быть представлено в виде:

,

где ;  - частные коэффициенты регрессии.

Для расчета условных средних квадратических отклонений используются формулы:

; ;

; .

Функция регрессии линейно зависит от двух переменных . Соответствующая ей поверхность представляет собой плоскость.

Для рассматриваемой модели имеют место три уравнения регрессии и три отвечающие им плоскости регрессии.

Необходимые для расчетов коэффициентов уравнений регрессии оценки девяти определяющих совместное распределение  параметров трехмерной корреляционной модели по выборочным данным  осуществляются по формулам:

; ; ;

; ; ;

; ; .

Проверка значимости коэффициентов связи

А) для частного коэффициента корреляции

Если верна основная гипотеза , то статистика

имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы, равным .

При уровне значимости  исходная гипотеза отвергается, если справедливо неравенство , где  - критическое значение, удовлетворяющее условию .

Б) для множественного коэффициента корреляции

При справедливости основной гипотезы  статистика

имеет распределение Фишера-Снедекора с  и  степенями свободы.

При уровне значимости  гипотеза отвергается, если выполняется неравенство , где  - критическое значение, удовлетворяющее условию .