Двумерная корреляционная модель

Анализируется корреляционная зависимость между двумя признаками , .

Предполагается, что распределение вероятностей двумерной случайной величины  подчинено закону Гаусса, т.е. плотность совместного распределения ,  определяется формулой:

содержащей пять параметров:

 - математическое ожидание ;

 - математическое ожидание ;

 - дисперсия ;

 - дисперсия ;

 - коэффициент корреляции между , .

Коэффициент корреляции как мера тесноты стохастической связи между двумя случайными величинами

Из условия нормальности совместного распределения признаков ,  непосредственно вытекает, что распределение каждого их них также подчинено закону Гаусса с соответствующими параметрами:

;

.

Если , то из выражений, задающих двумерную и одномерные плотности распределения вероятностей , ,  следует, что , т.е. ,  есть независимые между собой случайные величины.

Для случайных величин , , совместное распределение которых является нормальным, понятия "некоррелированность" и "стохастическая независимость" эквивалентны.

Таким образом, для решаемой задачи коэффициент корреляции  может служить мерой силы стохастической взаимосвязи рассматриваемых случайных величин.

Вне рамок корреляционной модели равенство нулю коэффициента корреляции указывает лишь на некоррелированность исходных переменных, но не подтверждает отсутствие иной формы стохастической зависимости.

Коэффициент корреляции не имеет размерности и, следовательно, его можно использовать при анализе зависимости признаков, различающихся по мерным шкалам.

Значение  по абсолютной величине не превосходит единицы.

Если , линейная связь между переменными  и  отсутствует.

Значение  указывает на наличие функциональной линейной зависимости между ними.

По мере приближения  к единице условные дисперсии  стремятся к нулю, что свидетельствует о меньшем рассеянии значений переменных ,  относительно соответствующих линий регрессии и о более тесной связи между данными переменными.

Положительный знак коэффициента корреляции означает, что прямые регрессии имеют в координатной плоскости  положительный тангенс угла наклона, с увеличением (или уменьшением) значения любой из переменных ,  пропорционально в среднем возрастает (соответственно убывает) значение другой переменной.

Отрицательный знак коэффициента корреляции указывает на обратную тенденцию.