Сферическая теорема синусов

Докажем теперь сферическую теорему синусов, аналогичную теореме синусов плоской тригонометрии. Из формулы (7) вытекает равенство

.

Применяя это равенство, вычислим отношение

.

Так как полученное выражение симметрично относительно сторон a,b,c, то оно равно аналогичным выражениям, полученным из левой части этого равенства заменой сторон a,b,c и углов А, В, С в круговом порядке. Извлекая квадратный корень из этих выражений, получаем три равные выражения:

                                      (10)

Эта формула и выражает сферическую теорему синусов: синусы сторон сферического треугольника относятся, как синусы противолежащих углов. Из формулы (10), в частности видно, что если в сферическом треугольнике имеет место соотношение , так что sinB=sinA, то в силу формулы (10) , т.е. либо a=b, либо . Но если a=b, то А=В и в соответствии с соотношением  это даёт . Следовательно, С – полюс стороны АВ, и потому . Таким образом, соотношение  справедливо и в этом случае. Итак, если , то стороны a и b связаны соотношением .

Формулы пяти элементов

Одна из формул пяти элементов: произведение синуса стороны сферического треугольника на косинус прилежащего угла равно разности произведения косинуса стороны, лежащей против этого угла, на синус третьей стороны и произведения синуса стороны, лежащей против данного угла, на косинус третьей стороны и косинус стороны, лежащей против данного угла.

                     (11)

                     (12)

                     (13)

Меняя в формуле (11) местами стороны а и с и углы А и С, а затем заменяя обозначения сторон a, b, c и углов А, В, С в круговом порядке, мы получим еще три аналогичные формулы

                   (14)

                    (15)

                      (16)

Эти формулы аналогичны теоремам проекций плоской тригоно­метрии.

Заменяя в формуле (11)  пропорциональными и величинами sinA, sinB и sinC, мы получим формулу

или

        .         (17)

Мы получили формулу пяти элементов другого вида, которую обычно формулируют в виде: произведение косинуса стороны сфе­рического треугольника на синус прилежащего угла равно сумме произведения косинуса угла, лежащего против этой стороны, на синус третьего угла и произведения синуса угла, лежащего против данной стороны, на косинус третьего угла и на косинус стороны, лежащей против данного угла.

Заменяя в формуле (17) обозначения сторон а, b, с и углов А, B, С в круговом порядке, мы получим еще две аналогичные фор­мулы

                       (18)

                           (19)

Меняя в формуле (17) местами стороны а и с и углы Aи C, а затем заменяя обозначения сторон а, b, с и углов A, В, С в круговом порядке, мы получим еще три аналогичные формулы:

                      (20)

                                 (21)

.                  (22)

Эти формулы не имеют аналогов в плоской тригонометрии.