Площадь сферического треугольника.

Будем называть площадью сферической фигуры, по аналогии с площадью плоской фигуры, действительное число, удовлетворяющее следующим четырём требованиям:

1) площадь сферической фигуры является положительным числом, (свойство позитивности),

2) площадь сферической фигуры не изменяется при движении (свойство инвариантности),

3) если сферическая фигура разложена на две сферические фигуры, то площадь данной фигуры равна сумме площадей двух фигур, на которые она разложена (свойство аддитивности),

4) площадь всей сферы радиуса R равна 4 p R² (свойство нормировки).

Прежде всего найдём площадь двуугольника. Из свойства аддитивности, инвариантности и нормировки следует, что если разделить сферу на n равных двуугольников (рис. 24), то площадь каждого из них (т.е. площадь двуугольника с углом ) равна . Поэтому площадь двуугольника с углом , составленного из m рассмотренных двуугольников, равна , а если угол некоторого двуугольника больше   и меньше , то площадь этого двуугольника заключена между  и  (это вытекает из первого и третьего свойств площади). Неограниченно увеличивая число n, мы можем с помощью предельного перехода найти площадь любого двуугольника: площадь двуугольника, углы при вершинах которого равны a, равна

,

т.е.

.                                        (1)

Рис. 24                                                     Рис. 25

Если нам дан сферический треугольник АВС, то пара больших окружностей, проходящих через две его стороны, определяет два двуугольника, углы которых равны углу сферического треугольника между этими сторонами (рис. 25). Всего таким образом получается шесть двуугольников, два с углом А, два – с углом В и два – с углом С. Треугольник АВС и диаметрально противоположный ему треугольник А'В'С' (равный треугольнику АВС), входят в три двуугольника, остальные точки сферы (не лежащие на сторонах двуугольников) входят только в один двуугольник. Поэтому сумма площадей шести двуугольников равна сумме площади S всей сферы и учетверённой площади S(D) треугольника АВС, т.е.

2S(A)+2S(B)+2S(C)=S+4S(D).

Так как

S(A)=2r²A, S(B)=2r²B, S(C)=2r²C,

То мы получаем

4r²(A+B+C)=4pr²+4S(D),

т.е.

S(D)=r²(A+B+C-p).                                         (2)

Так как величины S(D) и r² положительны, то величина А+В+С-p также положительна, откуда следует, что

А+В+С>p,

т.е. сумма углов сферического треугольника больше развёрнутого угла. Величина А+В+С-p называется угловым избытком сферического треугольника.

Таким образом, площадь сферического треугольника равна произведению его углового избытка на квадрат радиуса сферы.

Заменяя в последнем неравенстве углы А, В и С равными им выражениями  где, а', b', с' – стороны полярного треугольника, мы получим неравенство

а'+ b'+ с'< 2pr,

показывающее, что сумма сторон сферического треугольника меньше длины большой окружности.