Признаки возрастания и убывания функции

Федеральное агентство по образованию

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г. Белинского

Физико-математический факультет

Кафедра общей физики

Курсовая работа

Некоторые приложения дифференциального исчисления

Пенза 200 8

Признаки возрастания и убывания функции

 

Функция f(x), заданная на интервале, называется возрастающей,если большим значениям аргумента соответствуют большие значения функций, т.е. если как только x₂ > x₁ ,так и f(x₂)>f(x₁). Функция называется убывающей, если из x₂ > x₁ следует f(x₂)<f(x₁). Возрастающие и убывающие функции носят общее название монотонных функций. Функция называется кусочно монотонной, если любой конечный интервал, содержащийся в ее области определения, состоит из нескольких интервалов, на каждом из которых функция монотонна (рис. 1).

 

Рис. 1

 

Основной принцип дифференциального исчисления дает простые признаки возрастания и убывания дифференцируемых (т.е. имеющих производную) функций.

Пусть функция f (х)возрастает на некотором интервале. Тогда ее график представляет собой линию, поднимающуюся при движении слева направо (рис. 2). Поэтому маленький отрезок касательной, почти совпадающий с кусочком графика, примыкающим к точке касания, будет тоже поднимающимся или, в крайнем случае, будет горизонтальным отрезком. Следовательно, угловой коэффициент касательной в любой точке кривой (т.е. значение производной) больше или равен нулю.

Рис. 2

 

Справедлива теорема:

Теорема 1. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на некотором интервале и внутри него имеет конечную производную . Для того чтобы f(x) была на интервале монотонно возрастающей в широком смысле, необходимо и достаточно условие

 

 

 

Необходимость. Если f(x) монотонно возрастает, то, взяв х из промeжутка и придав ему приращение  будем иметь:

 

,

 

и в пределе, при :

Достаточность. Пусть дано, что внутри промежутка.Возьмем два значения x₁ и x₂ ( ) из промежутка и к функции f(x)в промежутке [ ] применим формулу Лагранжа:

 

 

где (x₁<c<x₂). Так как , то , то есть функция f(x) – возрастающая. Теорема доказана.

Для убывания функций имеются признаки, которые аналогичны признакам возрастания.

Теорема 2. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на некотором интервале и внутри него имеет конечную производную . Для того чтобы f(x) была на интервале монотонно убывающей в широком смысле, необходимо и достаточно условие

 

 

 

Связь между знаком производной и направлением изменения функции геометрически очевидна, так как производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции. Знак этого угловогПримеры

1) Функция f(x)=x³. Она возрастает, но её производная  при x=0 обращается в 0.

2) Для возрастающей функции производная может даже в конечном промежутке обращаться в 0 бесконечное множество раз. Рассмотрим функцию

 

, для x>0

 

, таким образом функция непрерывна и при x=0. Для x>0:

 

 

Эта производная обращается в 0 при (k=0,1,2,…). При этом  при

Следовательно,

3) Найти промежутки монотонности функции используя достаточные условия возрастания и убывания функции на интервале.

Находим производную

 

 

Рис. 3

 

На рисунке 3 показано распределение знаков производной по числовой оси. Применяя достаточные условия монотонности функции на интервале получаем, что у(х) возрастает на [-1; 1], убывает на ( ; -1] и на [1; ). Обратите внимание на то, что концы интервалов (точки х =-1 и х=1) включаются как в интервал, на котором функция убывает, так и в интервал, на котором функция возрастает.

Замечание. При решении задач практического содержания часто можно не проверять аналитически достаточность условийэкстремума (с помощью первой или второй производной коэффициента показывает, наклонена ли касательная вверх или вниз, а с нею - идет ли вверх или вниз и сама кривая.

Но в отдельных точках касательная при этом может оказаться и горизонтальной, т.е. производная - даже в строгом смысле - возрастающей (убывающей) функции может для отдельных значений хобращаться в 0.

Не каждая стационарная точка доставляет функции экстремум: необходимое условие не является достаточным. Например, для функции производная обращается в нуль при x=0, но в этой точке функция не имеет экстремума: она всё время возрастает.

Если точка  - стационарная точка для функции f ( x ) или если в этой точке не существует для нее двусторонней конечной производной, то точка х₀ является лишь «подозрительной» по экстремуму и подлежит проверке достаточных условий для существования экстремума. Предположим, что для функции f(x) в промежутке (a.b) существует конечная производная. Если в точке x₀ функция имеет экстремум, то применив к промежутку теорему Ферма (пусть функция f(x) определена в некотором промежутке и во внутренней точке с этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если существует двусторонняя конечная производная в этой точке, то необходимо ), получим, что : в этом состоит необходимое условие экстремума. Экстремум нужно искать только в тех случаях, где производная равна 0. Эти точки называются стационарными.

На рис. 4 точка х₀ - точка локального минимума функции f(x), x₁ есть точка локального максимума. Глобальные минимум и максимум достигаются на концах а и b промежутка задания функции.

 

Рис. 4

 

Максимум и минимум функции носят общее название экстремумов, и точки, в которых они достигаются, называются точками экстремумов.

Рассмотрим задачу, в которой нужно найти все значения аргумента, доставляющих функции экстремум.

Точка локального максимума - точка х₀, для которой f(x₀) - наибольшее среди всех значений в некоторой окрестности точки х_0. Локальный максимум функции - значение f(x₀) в точке локального максимума, глобальный максимум - наибольшее значение функции, заданной на интервале. Точка х₀ называется точкой локального минимумадля функции f(x),если ее значение f(x₀)в этой точке меньше всех значений в некоторой ее окрестности , то есть . Значение f(x₀)называется локальным минимумомфункции f ( x ). Глобальным (всеобщим) минимумомназывается значение функции, наименьшее среди значений на всем интервале.