Системы сравнений первой степени

 

Систему сравнений первой степени с одним и тем же неизвестным, но с разными модулями, запишем в общем виде так:

 

(4.1)

 

Общий способ (способ последовательного решения) состоит в том, что сначала находится  из первого сравнения, где  – наименьший неотрицательный или абсолютно наименьший вычет по модулю  и берется класс чисел

 

(

 

удовлетворяющих первому сравнению.

Затем это значение  подставляется во второе сравнение, что дает

откуда находится  опять в виде класса чисел и подставляется в равенство ( .

В результате получается значение  в виде класса чисел, удовлетворяющих первым двум сравнениям системы. Дальше это значение  подставляется в третье сравнение системы, так же находится , затем находится  и подставляется в четвертое сравнение системы и т.д.

Заметим, что можно идти и несколько иным путем: сначала решается каждое из сравнений системы и представляется в виде:

 

(4.2)

 

а затем поступают описанным способом.

Если окажется, что хотя бы одно из сравнений системы (4.1) не имеет решения или сравнение относительно  в описанном способе неразрешимо, то система (4.1) не имеет решения.

Если для сравнений  системы (4.1)  и  то, сокращая члены и модуль каждого сравнения на  получаем систему:

 

(4.3)

 

эквивалентную (4.1).

Сравнения этой системы можно решить относительно  и свести решение системы (4.3) к решению системы:

 

 

(4.4)

 

Если в системе (4.2) модули  попарно просты, то решение ее можно находить не указанным выше общим способом, а по формуле:

где  и  есть решения сравнений:

Решением системы будет:

Этим способом можно решать и систему (4.4), если модули  попарно просты.

Пример 1 . Решить систему сравнений:

Классы вычетов по :  при имеем:

1) , следовательно,  удовлетворяет первому сравнению системы,

2) , следовательно,  удовлетворяет второму сравнению системы.

Поэтому класс вычетов  является решением системы. Можно записать этот класс иначе: прибавив к  модуль 9, получим, что

Итак, данная система сравнений имеет решение

Заключение

 

В работе изложены основы теории сравнений. Задача данной курсовой работы разработка учебного пособия, которое содержит достаточный теоретический и практический материал.

В данной работе достаточно полно изложены основные моменты теории, они иллюстрируются примерами, которые позволяют глубже понять рассматриваемые вопросы.

Материал курсовой работы может быть использован как при изучении соответствующего курса теории чисел, так и для спецкурсов по алгебре, в частности, для тех специальностей, на которых нет курса теории чисел, уже на младших курсах обучения.

Приведенный список литературы позволяет при необходимости рассмотреть некоторые более сложные моменты теории сравнений и их приложений.

 

Литература

 

1. Бухштаб А.А. Теория чисел. – М.: Просвещение, 1960. – 376 с.

2. Алгебра и теория чисел: Уч. пособие. под ред. Н.Я. Виленкина. – М.: Просвещение, 1984. – 192 с. (гл. 3).

3. Вахитова Е.В. Теория сравнений и ее приложения. – Стерлитамак: Изд-во СГПИ, 2000. – 414 с.

4. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. – М.: Наука, 1984. – 288 с.

5. Лельчук М.П., Полевченко И.И., Радьков А.М., Чеботаревский Б.Д. Практические занятия по алгебре и теории чисел. – Минск: Высш. Школа, 1986. – 302 с. (Занятия 46–51).

6. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – Мн.: Высш. шк., – 1982. – 223 с.

7. Михелович Ш.Х. Теория чисел. М.: Высшая Школа, 1967. – 335 с.

8. Грибанов П.И., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. М. Просвещение 1964.

9. Александров В.А., Горшенин С.М. Задачник-практикум по теории чисел. М.: Просвещение 1960. – 48 с.