Основные теоремы о сравнениях

Введение

 

Методы теории сравнений широко применяются в различных областях науки, техники, экономики. Этот раздел алгебры занимает важное место в вузовском образовании математиков, физиков и других специалистов, однако очень часто изучается недостаточно глубоко. Задача данной курсовой работы – изучить теоретический материал и рассмотреть ряд основополагающих задач по одному из основных разделов теории чисел: сравнения первой степени с одной и несколькими переменными, сравнения высших степеней и т.д.

Основная часть курсовой работы состоит из трех глав. В первой главе раскрываются основные понятия теории сравнений, такие как сравнения в кольце целых чисел, основные теоремы и свойства сравнений. Во второй главе рассматриваются сравнения первой степени с одной переменной. Далее рассматриваются сравнения высших степеней и системы сравнений первой степени. В приложении приводятся примеры решения текстовых задач, которые сводятся к неопределенным уравнениям первого порядка и решаются с помощью сравнений.

Изложение теоретического материала иллюстрируется большим количеством примеров с подробными решениями.

В работе приводится список литературы по теме.

Теория сравнений

Сравнения в кольце целых чисел

 

Понятие сравнения было введено впервые Гауссом. Несмотря на свою кажущуюся простоту, это понятие очень важно и имеет много приложений.

Возьмем произвольное фиксированное натуральное число  и будем рассматривать остатки при делении на m различных целых чисел. При рассмотрении свойств этих остатков и произведении операций над ними удобно ввести понятие так называемого сравнения по модулю.

Определение. Целые числа  и  называются сравнимыми по модулю , если разность  делится на , т.е. если .

Таким образом, сравнение представляет собой соотношение между тремя числами  и , причем , играющее роль своего рода эталона сравнения, мы называем «модулем». Для краткости будем это соотношение между  и  записывать:

 

,

 

 и  будем называть соответственно левой и правой частями сравнения. Число , стоящее под знаком модуля, будем всегда считать положительным, т.е. запись  будет означать, что .

Если разность  не делится на , то мы будем записывать:

.

Согласно определению,  означает, что  делится на .

Примеры.

1.  так как  и делится на .

2. , так как  и  делится на .

3. , так как и  делится на .

Основные теоремы о сравнениях

Теорема 1 (признак сравнимости двух чисел по модулю ). Два целых числа  и  сравнимы по модулю  тогда и только тогда, когда  и  имеют одинаковые остатки при делении на .

Доказательство. Пусть остатки при делении  и  на  равны, т.е.

 

	(1.1)
	(1.2)

 

где

Вычтем (1.2) из (1.1); получим т.е.  или

Обратно, пусть  это означает, что  или

 

(1.3)

 

Разделим  на ; получим  Подставив  в (1.3), будем иметь  т.е. при делении  на  получается тот же остаток, что и при делении  на .

Пример 1. Определим, сравнимы ли числа  и  по модулю .

Решение. При делении  и  на  получаются одинаковые остатки  Следовательно,

Определение. Два или несколько чисел, дающие при делении на  одинаковые остатки, называются равноостаточными или сравнимыми по модулю .

Теорема 2. Отношение сравнимости рефлексивно: .

Доказательство. и  имеют одинаковые остатки при делении на .

Теорема 3. Отношение сравнимости симметрично: если , то .

Доказательство. Если  и  имеют одинаковые остатки при делении на , то остатки от деления  и  на  также равны.

Теорема 4. Отношение сравнимости транзитивно: если

то .

Доказательство. Если остатки от деления на  одинаковы у чисел  и , а также у  и , то  и  тоже имеют одинаковые остатки при делении на .

Таким образом, отношение сравнимости есть отношение эквивалентности.

Теорема 5. Если  и  произвольное целое число, то

.

Доказательство. Если , то , , , .

Теорема 6. Если  и 1, то .

Доказательство. Если , то  | ,  | , но тогда условие  дает  | , т.е. .

Теорема 7. Если  и  произвольное натуральное число, то .

Доказательство. Если , то | , | , .

Теорема 8. Если , где и произвольные натуральные числа, то .

Доказательство. Если , то  | ,  | ,

 натуральное ( , тогда  | , .

Теорема 9. Если , , то  и .

Доказательство. Если  и , то  и . Получим, что

Теорема 9'. Если , то .

Теорема 10. Если  и , то .

Доказательство. Если  и , то  и . Тогда по транзитивности сравнений получим, что .

Теорема 10'. Если , то

.

Доказательство. Последовательно применяя теорему 7, получим:

.

Теорема 11. Если , то при любом целом , .

Доказательство. При  утверждение верно по теореме 2, а при  оно верно согласно теореме 10', если  и .

Переход от сравнений ,  к сравнениям

, ,

будем называть соответственно сложением (вычитанием), умножением, возведением в степень сравнений.

Так как из сравнения  следует , то из сравнений  и следует также, что  и .

Теорема 12. Если  и  произвольный многочлен с целыми коэффициентами, то .

Доказательство. Если , то, согласно теоремам 7 и 11, имеем:

при .

По теореме 9', получаем ,

т.е. .

Теорема 12'. Если  и многочлен с целыми коэффициентами, то

.

Теорема 13. Любое слагаемое левой или правой части сравнения можно перенести с противоположным знаком в другую часть.

Доказательство. Ввиду симметричности отношения сравнения достаточно рассмотреть случай, когда дано сравнение . Складывая это сравнение со сравнением , получаем .

Следствие. В левой и правой частях сравнения можно добавлять или отбрасывать одно и то же слагаемое.

Теорема 14. В сравнении можно отбрасывать или добавлять слагаемые, делящиеся на модуль.

Доказательство. Если  и , т.е. , то, складывая эти сравнения, получаем . Аналогично из  и  получаем .

Поскольку левую и правую части сравнения можно менять местами, утверждение верно и для слагаемых правой части.

Теорема 15. Если  и , то .

Доказательство. Если , то . Из ,  в силу транзитивности отношения делимости получаем , .

Теорема 16. Если , то множество общих делителей  и  совпадает с множеством общих делителей  и . В частности,

Доказательство. Если , то , , , любой общий делитель  чисел  и  является общим делителем чисел  и , и, наоборот, если  и , то .

Поскольку пара  и пара  имеют одни и те же общие делители, то и .

Теорема 17. Если , , то , где .

Доказательство. Если , , то , то и, согласно свойствам наименьшего общего кратного, .