Вывод формул для вычисления площадей треугольников и

Четырехугольников.

Самыми распространенными видами многоугольников являются треугольник, параллелограмм, прямоугольник, квадрат и трапеция. Для выведения их площадей будем использовать две леммы:

Лемма 1 . Каковы бы ни были положительные числа a и b, существует прямоугольник, смежные стороны которого соответственно равны a и b.

Лемма 2. Если через точку, лежащую на стороне прямоугольника, проведена прямая, перпендикулярная к этой стороне, то эта прямая пересекает противоположную сторону прямоугольника и разлагает прямоугольник на два прямоугольника.

Площадь квадрата

Пусть стороны AB и AD квадрата  точками Р₁, Р₂,…,Р_n-1 и Q₁, Q₂,…, Q_n-1 разделены на n равных частей. Проведем через точки Р₁, Р₂,…,Р_n-1 прямые, перпендикулярные к прямой AB, тогда, согласно лемме 2, данный квадрат разлагается на n прямоугольников. (рис. 5а).

Далее проведем через точки Q₁, Q₂,…, Q_n-1 прямые, перпендикулярные к прямой AD. Тогда каждый из этих прямоугольников разлагается на n квадратов. В результате квадрат  разлагается на n ² равных друг другу квадратов. (рис. 5б). Если площадь каждого из этих квадратов равна s, а пло щадь квадрата  равна S, то согласно условию А₂ имеем:

Отсюда, в частности, следует, что если сторона квадрата равна n, где n – натуральное число, n>1, то квадраты, на которые разлагается этот квадрат, построены на единичном отрезке, поэтому s=1 и, следовательно,

Теорема 2. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

○ Пусть S – площадь данного квадрата , и a – длина его стороны. Докажем, что

Рассмотрим сначала случай, когда а – рациональное число, т.е. , где p и q – натуральные числа. Если q = 1, то утверждение теоремы непосредственно следует из формулы ⁽***⁾, поэтому предположим, что q > 1. Рассмотрим квадрат 1, сторона которого равна p, и разобьем его на q ² равных друг другу квадратов так, как было показано выше. Так как p = а q , то сторона каждого из этих маленьких квадратов равна а, поэтому эти квадраты равны квадрату . Следовательно, их площадь равна S. По формуле ⁽**⁾ S =р², а по формуле ⁽*⁾

S ( ₁) = p ² = q ² s . Отсюда следует, что

Рассмотрим теперь случай, когда а – иррациональное число. Допустим, что формула ⁽***⁾ неверна, т.е. S≠a ² и, следовательно, .

Пусть для определенности  Подберем рациональные числа α₁ и α₂ так, чтобы α₁< а < α₂ и α₂ – α₁ < ε.

Ясно, что площадь данного квадрата  заключена между площадью квадрата со стороной α₁ и площадью квадрата со стороной α₂ (рис. 6).

Согласно сказанному  α₁² < S < α₂²  или α₁ <  < α₂. Отсюда, учитывая, что α₁< а < α₂, получаем: - а < α₂ – α₁, т.е. ε < α₂ – α₁. Это неравенство противоречит неравенству α₂ – α₁ < ε, следовательно, наше предположение неверно, т.е. S=a² ●