Понятие многоугольника и его площади.

В курсе элементарной геометрии понятие многоугольника рассматривается через понятие ломаной. Ломаная - система отрезков А₁А₂,А₂А₃,... ,А_n-1,А_n, где n≥2, соединяющей точки А₁ и А_n и обозначается А₁,А₂,...,А_n (рис. 1)

Отрезки А₁А₂, А₂А₃,...,А_n-1А_n называют звеньями (или сторонами) ломаной, а точки  А₁,А₂,...,А_n вершинами ломаной, причём точки А₁ и А_n называются концами ломаной. Звенья А₁А₂ и А₂А₃, А₂А₃ и А₃А₄,…,А_n-2А_n-1, А_n-1А_n называются смежными. Ломаная А₁А₂А₃…А_n называется замкнутой, если её концы совпадают, тогда А_n-1А_n и А₁А₂ – смежные звенья.

Замкнутая ломаная называется простым многоугольником, если её смежные звенья не лежат на одной прямой, а несмежные звенья не имеют общих точек. Вершины и стороны ломаной называют вершинами и сторонами многоугольника.  Сумма сторон многоугольника называется его периметром. Многоугольник, имеющий n вершин, а значит и n сторон, называется n-угольником. В частности, при n=3 получаем треугольник, при n =4 получаем четырёхугольник.

На рисунке 2а изображён простой шестиугольник. Замкнутая ломаная А₁А₂...А₅, изображенная на рисунке 2б, не является простым многоугольником, так как несмежные звенья А₂А₃ и А₄А₅ пересекаются.

Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседние. Отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины, называют диагональю многоугольника. Из каждой вершины n-угольника при n >3 выходят n-3 диагонали, поэтому общее число диагоналей n-угольника равно n ( n -3). Так четырехугольник имеет две диагонали, пятиугольник – пять, шестиугольник – девять и т.д.

Многоугольник разбивает множество всех точек плоскости, не принадлежащих многоугольнику, на два множества, одно из которых называется внутренней, а другое внешней областью многоугольника. Точки внутренней области многоугольника называются внутренними точками многоугольника. На ниже данных рисунках внутренняя область многоугольника заштрихована.

Многоугольник называется выпуклым, если каждая прямая, проходящая через две соседние вершины, является границей полуплоскости, в которой лежат остальные вершины многоугольника. На рисунке 3а изображен невыпуклый многоугольник, а на рисунке 3б – выпуклый.

Фигура, являющаяся объединением многоугольника F и его внутренней области, также называется многоугольником. Ее будем обозначать через F.

Будем говорить, что многоугольник F разложен на многоугольники F ₁ , F ₂ ,…, F_k, если никакие из многоугольников F₁,F₂,…,F_k не имеют общих внутренних точек. И тогда F = F ₁ F ₂ … F_k. На рисунке 3б многоугольник F разложен на треугольники F ₁ , F ₂ , F ₃ , F ₄ , F ₅. [1]

Введем понятие площади многоугольника. Пусть дан многоугольник  и две точки М₁ и М₂, принадлежащие F. Допустим, что точка М₁ лежит на стороне А₁А₂, а М₂ – на стороне А_mA_m+1, где 2≤m≤n (здесь предполагается, что при m = n точка A_m+1 совпадет с точкой A₁). Рассмотрим простую ломанную L=M₁N₁N₂…N_kM₂  с концами М₁ и М₂, все точки которой, кроме М₁ и М₂ являются внутренними точками многоугольника . Можно доказать, что ломанная L разлагает многоугольник  на два многоугольника  и  (рис. 4)

Сформулируем задачу измерения площадей многоугольников.

Введем на плоскости измерение отрезков, задав некоторый единичный отрезок EF.

Пусть каждому многоугольнику соответствует определенное действительное положительное число так, что:

А₁. Равным многоугольникам соответствует одно и то же число.

А₂. Если простая ломанная L разлагает многоугольник  на два многоугольника F₁ и F₂, и многоугольникам F, F₁ и F₂ соответствуют числа a , b , c, то a = b + c.

A₃. Квадрату ₀, построенному на единичном отрезке EF как на стороне, соответствует число, равное единице. Число, указанным образом соответствующее каждому простому многоугольнику , называется площадью многоугольника  или F и обозначается так: S( ) или S(F). Квадрат ₀ называется единичным квадратом. Имеет место следующая теорема. Ее мы принимаем без доказательства.

Теорема 1. Если выбран единичный отрезок EF , то существует одно и только одно соответствие между множеством многоугольников и множеством действительных положительных чисел, для которого выполняется условия А_1, А_2, A ₃ площадей. [1]