Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции y=y (x). Их можно записать в виде

, где х - независимая переменная.

Наивысший порядок n входящей в уравнение  производной называется порядком дифференциального уравнения.

Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разбить на следующие группы: графические, аналитические, приближенные и численные.

Графические методы используют геометрические построения.

Аналитические методы встречаются в курсе дифференциальных уравнений. Для уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородных, линейных и др.), а также для некоторых типов уравнений высших порядков (например, линейных с постоянными коэффициентами) удается получить решения в виде формул путем аналитических преобразований.

Приближенные методы используют различные упрощения самих уравнений путем обоснованного отбрасывания некоторых содержащихся в них членов, а также специальным выбором классов искомых функций.

Численные методы решения дифференциальных уравнений в настоящее время являются основным инструментом при исследовании научно-технических задач, описываемых дифференциальными уравнениями. При этом необходимо подчеркнуть, что данные методы особенно эффективны в сочетании с использованием современных компьютеров.

Метод Эйлера

Простейшим численным методом решения задачи Коши для ОДУ является метод Эйлера. Рассмотрим уравнение  в окрестностях узлов  (i=1,2,3,…) и заменим в левой части производную  правой разностью. При этом значения функции  узлах  заменим значениями сеточной функции :

Полученная аппроксимация ДУ имеет первый порядок, поскольку при замене  на  допускается погрешность .

Будем считать для простоты узлы равноотстоящими, т.е.  Тогда из равенства  получаем

Заметим, что из уравнения  следует

.

Поэтому  представляет собой приближенное нахождение значение функции  в точке  при помощи разложения в ряд Тейлора с отбрасыванием членов второго и более высоких порядков. Другими словами, приращение функции полагается равным её дифференциалу.

Полагая i=0, с помощью соотношения  находим з значение сеточной функции  при :

.

Требуемое здесь значение  задано начальным условием , т.е.

.

Аналогично могут быть найдены значения сеточной функции в других узлах:

Построенный алгоритм называется методом Эйлера

Рисунок - 19 Метод Эйлера

Геометрическая интерпретация метода Эйлера дана на рисунке. Изображены первые два шага, т.е. проиллюстрировано вычисление сеточной функции в точках . Интегральные кривые 0,1,2 описывают точные решения уравнения . При этом кривая 0 соответствует точному решению задачи Коши, так как она проходит через начальную точку А (x₀,y₀). Точки B,C получены в результате численного решения задачи Коши методом Эйлера. Их отклонения от кривой 0 характеризуют погрешность метода. При выполнении каждого шага мы фактически попадаем на другую интегральную кривую. Отрезок АВ - отрезок касательной к кривой 0 в точке А, ее наклон характеризуется значением производной . Погрешность появляется потому, что приращение значения функции при переходе от х₀ к х₁ заменяется приращением ординаты касательной к кривой 0 в точке А. Касательная ВС уже проводится к другой интегральной кривой 1. таким образом, погрешность метода Эйлера приводит к тому, что на каждом шаге приближенное решение переходит на другую интегральную кривую.