Практическое применение метода простых итераций при решении СЛАУ

 

Решим систему линейных уравнений методом простых итераций с точностью равной .

 

 

Выполним проверку на условие сходимости:

 

Условие выполнено, можно приступать к вычислению нулевого шага:

 

 

Начнем итерационный процесс:

 

 

Проверим выполняется ли условие остановки итерационного процесса:

 

 

Сходимость в сотых долях имеет место уже на 4-ом шаге, тогда можно принять:

 

 

Практическое применение метода Зейделя при решении СЛАУ

 

Решим ту же систему линейных уравнений методом Зейделя с той же точностью: .

 

Проверку на условие сходимости мы выполнили ранее, при решении методом простых итерации.

 

 

Условие сходимости выполнено на 3-ем шаге.

Корнями уравнения можно принять:

 

 

Программная реализация итерационных методов решения СЛАУ

 

Рисунок 17 - Решение системы уравнений методом простых итераций.

Рисунок 18 - Решение уравнения методом Зейделя

Сравнительный анализ различных методов численного дифференцирования и интегрирования

 

Методы численного дифференцирования

 

Необходимость численного дифференцирования может возникнуть при необходимости исследований функций заданных табличным образом, кроме тех случаев, когда вычисление производной численно может оказаться проще, чем дифференцирование. Предположим, что в окрестности точки x_i функция F (x) дифференцируема достаточное число раз. Исходя из определения производной:

 

 

используем для её вычисления две приближенные формулы:

 

 (1)

 (2)

 

Формулы (1) и (2) называют правыми и левыми разностными производными. Для оценки погрешностей формул численного дифференцирования используется формула Тейлора:

 

 

откуда можно вычислить:

 (3)

 

Выражение (3) имеет погрешность порядка (x-x_i), следовательно, формулы правых и левых разностных производных имеют погрешность одного порядка с h, где h=x_i-x_i-1

Такая точность достаточно невысока, поэтому применяется так называемая центрально-симметричная форма производной, погрешность которой одного порядка с h²

 

 (4)

 

Хотя очевидно, что формула (4) используется для внутренних точек отрезка.

Для примера возьмём ряд точек:

 

 

Вычислим производную функции f (x) =sin (x) в одной из них двумя способами.

Очевидно, что h=

По центрально-симметричной формуле:

 

 

По формуле левой разностной производной:

 

Табличное значение =cos ( ) =0.8660, т.е. значение производной, полученное по центрально-симметричной формуле ближе к истинному.