Точность статистической оценки. Доверительная вероятность (надежность оценки), доверительный интервал

Точечные оценки неизвестных значений математического ожидания и дисперсии имеют большое значение на первоначальном этапе обработки статических данных. Их недостаток в том, что неизвестно с кокой точностью они дают оцениваемый параметр.

Пусть по данной выборке Х1, Х2, Х3, …, Хn получены точные статистические оценки и , тогда числовые характеристики случайной величины Х будут приближенно равны . Для выборки небольшого объема вопрос поточности оценки существенен, т.к между m и , D и  будут недостаточно большие отклонения. Кроме того при решении практических задач требуется не только найти приближенные значения m и D, но и оценить их точность и надежность. Пусть ,т.е является точечной оценкой для m. Очевидно, что тем точнее определяет m, чем меньше модуль разности . Пусть , где ε>0, тогда, чем меньше ε, тем точнее оценка m. Таким образом, ε>0 характеризует точность оценки параметра. Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка истинного значения m удовлетворяет , можно лишь говорить о вероятности α, с которой это неравенство выполняется:

Таким образом, α- это доверительная вероятность или надежность оценки, значение α выбираются заранее в зависимости от решаемой задачи. Надежность α принято выбирать 0.9; 0.95; 0.99; 0.999. События с такой вероятностью являются практически достоверными. По заданной доверительной вероятности можно найти число ε>0 из .

Тогда получим интервал ,который накрывает с вероятностью α истинное значение математического ожидания m, длина этого интервала равна 2ε. Этот интервал называется доверительным интервалом. А такой способ оценки неизвестного параметра m – интервальным.

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения случайной величины при известном σ.

Пусть дана выборка Х1, Х2, Х3, …, Хn, и пусть по этой выборке найдено , , .

Требуется найти доверительный интервал для математического ожидания m с доверительной вероятностью α. Величина  есть величина случайная с математическим ожиданием , .

Случайная величина  имеет суммарную природу, при большом объеме выборки она распределена по закону близкому к нормальному. Тогда вероятность попадания случайной величины в интервал будет равна:

,где

Где - функция Лапласа.

Из формулы (3) и таблиц функции Лапласа находим число ε>0 и записываем доверительный интервал для точного значения случайной величины Х с надежностью α.

В этой курсовой работе значение σ заменим , и тогда формула (3) примет вид:

Найдем доверительный интервал , в котором находится математическое ожидание. При α = 0.99, n = 100, , .

по таблицам Лапласа находим:

Отсюда ε = 0,5986.

- доверительный интервал, в котором с вероятностью 99% находится точное значение математического ожидания.