Выравнивание (сглаживание) статистического ряда и статистической функции распределения с помощью нормального закона

Выравнивание статистического ряда

Во всяком статистическом распределении неизбежно присутствуют элементы случайности. Однако при очень большом числе наблюдений эти случайности сглаживаются, и случайные явления обнаруживают присущую ему закономерность.

При обработке статистического материала приходится решать вопрос о том, как подобрать для данного статистического ряда теоретическую кривую. Эта теоретическая кривая распределения должна выражать существенные черты статистического распределения – эта задача называется задачей сглаживания или выравнивания статистического ряда.

Иногда общий вид распределения случайной величины Х вытекает из самой природы этой случайной величины.

Пусть случайная величина Х – это результат измерения некоторой физической величины прибора.

Х = точное значение физической величины + ошибка прибора.

Случайная ошибка прибора при измерении имеет суммарную природу и распределена по нормальному закону. Следовательно такое же распределение имеет случайная величина Х, т.е. нормальное распределение с плотностью вероятности:

, где , , .

Параметры и определяются так, чтобы числовые характеристики теоретического распределения были равны соответствующим числовым характеристикам статистического распределения. При нормальном распределении полагают, что , , , , тогда функция нормального распределения примет вид:

Вычисления сведем в таблицу 4.

Таблица 4. Выравнивающая кривая

Номер интервала	Середина интервала Xi		Табулированная функция	Нормальная кривая
1	-8,0060	-2,4187	0,0214	0,0092
2	-6,6980	-1,8549	0,0714	0,0308
3	-5,3900	-1,2911	0,1734	0,0747
4	-4,0820	-0,7273	0,3062	0,1320
5	-2,7740	-0,1635	0,3936	0,1697
m	-2,3947	0	0,3989	0,1720
6	-1,4660	0,4003	0,3682	0,1587
7	-0,1580	0,9641	0,2507	0,1080
8	1,1500	1,5279	0,1242	0,0535
9	2,4580	2,0917	0,0448	0,0193
10	3,7660	2,6555	0,0117	0,0051

Теоретическую нормальную кривую строим по точкам на одном графике с гистограммой статистического ряда (Ошибка! Источник ссылки не найден.).

Рисунок 3

Выравнивание статистической функции распределения

Статистическую функцию распределения выравниваем функцией распределения нормального закона:

, где , , - функция Лапласа.

Вычисления сведем в таблицу 5.

Таблица 5. Функция распределения

Номер интервала	Середина интервала Xi		Функция Лапласа	Функция распределения
1	-8,0060	-2,4187	-0,4922	0,0078
2	-6,6980	-1,8549	-0,4682	0,0318
3	-5,3900	-1,2911	-0,4017	0,0983
4	-4,0820	-0,7273	-0,2665	0,2335
5	-2,7740	-0,1635	-0,0649	0,4351
m	-2,3947	0	0	0,5000
6	-1,4660	0,4003	0,1555	0,6555
7	-0,1580	0,9641	0,3325	0,8325
8	1,1500	1,5279	0,4367	0,9367
9	2,4580	2,0917	0,4818	0,9818
10	3,7660	2,6555	0,4960	0,9960

Строим график теоретической функции распределения по точкам вместе с графиком статистической функции распределения.

Рисунок 4.

Точечные и интервальные оценки параметров распределения