Обзор методов многофакторного прогнозирования

Одним из основных методов многофакторного прогнозирования является регрессионный анализ. Он применяется для построения математических зависимостей объектов, явлений по результатам экспериментальных данных, полученных на основе проведения активного или пассивного экспериментов.

Предполагается, что математическая зависимость относится к определенному классу функций с несколькими неизвестными параметрами. В общем виде эти функции представим так:

,                 (4.1)

где – вектор зависимой (выходной) переменной размерностью ;

– матрица независимых (входных) переменных размерностью ;

– вектор неизвестных параметров размерностью ;

– вектор возмущений размерностью ;

– количество независимых переменных;

– количество экспериментальных данных;

– класс функциональных зависимостей.

В зависимости – является случайной величиной, значения  могут рассматриваться либо как фиксированные, либо как случайные. При этом ожидаемое значение одной случайной переменной соотносится с наблюдаемыми значениями других случайных переменных в виде условной регрессии.

Рассмотрим зависимость между случайными величинами  и , представленную в виде некоторой таблицы наблюдений значений  и .

Перенося табличные значения  и  на плоскость , получаем поле корреляции, приведенное на рисунке 4.1

Рисунок 4.1. Экспериментальное уравнение регрессии

Разобьем диапазон изменения  на -равных интервалах . Все точки, попавшие в интервал , отнесем к середине интервала , в результате получаем трансформированное поле корреляции.

Определим частичные средние арифметические  для каждого значения :

,           (4.2)

где – число точек, оказавшихся в интервале , причем , где – общее число наблюдений.

Соединим последовательно точки с координатами  и  отрезками прямых. Полученная ломаная линия называется эмпирической линией регрессии  по ; она показывает, как в среднем меняется  с изменением . Предельное положение эмпирической линии регрессии, к которому она стремится при неограниченном увеличении числа наблюдений и одновременном уменьшении , называется предельной теоретической линией регрессии. Ее нахождение и составляет основную задачу регрессионного анализа. Отметим, что по линии регрессии невозможно точно определить значение  по  в одном опыте. Однако зависимость  позволяет определить в среднем значение  при многократном повторении опыта при фиксированном значении . В регрессионном анализе рассматривается связь между одной переменной, называемой зависимой, и несколькими другими, называемыми независимыми. Эта связь представляется в виде математической модели, т.е. в виде функции регрессии. Если функция линейна относительно параметров, но не обязательно линейна относительно независимых переменных, то говорят о линейной модели. В противном случае нелинейная. Статистическими проблемами обработки в регрессионном анализе являются:

1) получение наилучших точечных и интервальных оценок неизвестных параметров регрессионного анализа;

2) проверка гипотез относительно этих параметров;

3) проверка адекватности;

4) проверка множества предполагаемых предположений.

Исследуемый объект представлен на рисунке 4.2

Рисунок 4.2. Вид исследуемого объекта

Для корректного использования регрессионного анализа существует следующие предпосылки и следующие допущения на свойства регрессионной ошибки , ;  – значение зависимой переменной, полученное подстановкой  в уравнение , , ;  – количество экспериментальных данных,  – количество независимых переменных:

Приведем свойства и предпосылки регрессионной ошибки.

Свойства регрессионной ошибки:

1) в каждом опыте  имеет нормальный закон распределения:

, ;      (4.3)

2) в каждом опыте математическое ожидание  равно нулю:

, ;     (4.4)

3) во всех опытах дисперсия  постоянна и одинакова:

, ;      (4.5)

4) во всех опытах ошибки  независимы:

, .      (4.6)

Предпосылки регрессионной ошибки:

1) матрица наблюдений  имеет полный ранг:

;                      (4.7)

2) структура модели адекватна истинной зависимости;

3) значения случайной ошибки  не зависят от значений регрессоров ;

4) ошибки регистрации  регрессоров пренебрежимо малы по сравнению со случайной ошибкой .