Показательные и логарифмические неравенства с параметрами

 

Пример. Найти все значения параметра , при которых неравенство

выполняется для всех действительных значений .

Решение. Исходное неравенство

равносильно следующей совокупности двух систем:

(1)     (2)

(1)     (2)

                                                                                     

В системе (1) параметр , поэтому коэффициент , стоящий при в левой части последнего неравенства, положителен, следовательно, последнее неравенство системы (1) равносильно неравенству

которое не может выполняться при всех действительных значениях  при любом фиксированном значении параметра . Таким образом, система (1) не дает искомых значений параметра.

В системе

                                                                                                        (2)

из первого неравенства ( ) так же, как и раньше, вытекает, что , следовательно, второе неравенство равносильно неравенству

,

которое, очевидно, выполняется для всех действительных  тогда и только тогда, когда

С учетом того, что , получаем

Ответ:   

 

Производная и ее применения

Пример.Найти все значения параметра , при которых функция

имеет хотя бы один экстремум строго между числами и .

Решение. Для вычисления экстремумов функции найдем её производную:

откуда следует, что в точках экстремума, то есть при , значение параметра , так как . Поэтому интервал , на котором, согласно условию задачи, надо искать экстремум, целиком расположен справа от точки 0.

Дальнейшее решение задачи изложим двумя способами.

 

I- ый способ. Рассмотрим квадратный трехчлен с абсциссой вершины  и дискриминантом , положительность которого следует из того, что

Если абсцисса  вершины параболы, являющейся графиком функции , расположена левее интервала , то есть величина , то значения  и  должны быть разных знаков, причем - отрицательно:

 

откуда следует, что

Если  лежит строго между  и , то либо , либо  должно быть положительно:

Если  лежит правее интервала , то есть , то значения и должны быть разных знаков, причем - положительно:

Объединяя найденные значения параметра  в рассмотренных трех случаях , получает ответ: .

 

II – й способ.

 Как мы уже получили ранее, в точках экстремума, то есть при  имеем . В плоскости нарисуем график функции . Точки экстремума будем искать на интервале , то есть при  что соответствует внутренним точкам острого угла, ограниченного прямыми  и , и находящегося в первой четверти. Найдем точки пересечения прямых  и  с параболой . Решая квадратные уравнения, получаем:

Так как производная  при  и  при , то исходная функция  является возрастающей в области , расположенной ниже параболы , и убывающей в области, расположенной выше этой параболы; в точках параболы функция имеет экстремум (в силу того, что выполнено достаточное условие экстремума – смена знака производной).

Левая ветвь параболы  пересекается с прямыми  и  в точках  и  соответственно. Все точки параболы, расположенные строго между этими точками пересечения, отвечают точкам экстремума функции , соответствующим искомым значениям параметра : (проекция на ось указанного участка левой ветви параболы ).

Правая ветвь параболы  пересекается с прямыми  и  в точках  и  соответственно. Все точки параболы, расположенные строго между этими точками пересечения, отвечают точкам экстремума функции , соответствующим искомым значениям параметра : (проекция на ось указанного участка правой ветви параболы ).

Объединяя найденные выше интервалы  и  значений параметра , получаем ответ.

Ответ: .

 

 

 

 

Заключение

 

Введение элективного курса «Решение задач с параметрами» необходимо учащимся в наше время как при подготовке к ЕГЭ, так и к вступительным экзаменам в ВУЗы. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики.

Даже если бы эти задачи не предлагались на выпускных и вступительных экзаменах, то все равно в школьной математике задачам с параметрами должно уделяться большое внимание. В этом автор данного реферата глубоко убеждена: ведь известно, какую роль играют данные задачи в формировании логического мышления и математической культуры у школьников. Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются (и опыт это подтверждает) с другими задачами. Решение задач, уравнений с параметрами открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале.

При решении задач с параметрами одновременно активно реализуются основные методические принципы:

принцип параллельности – следует постоянно держать в поле зрения несколько тем, постепенно продвигаясь по ним вперед и вглубь;

принцип вариативности – рассматриваются различные приемы и методы решения с различных точек зрения: стандартность и оригинальность, объем вычислительной и исследовательской работы;

принцип самоконтроля – невозможность подстроиться под ответ вынуждает делать регулярный и систематический анализ своих ошибок и неудач;

принцип регулярности – увлеченные математикой дети с удовольствием дома индивидуально исследуют задачи, т. е. занятия математикой становятся регулярными, а не от случая к случаю на уроках.  

Разработанный элективный курс может быть использован учителями математики при подготовке к ЕГЭ, вступительным экзаменам в ВУЗы, на занятиях математического кружка. В нем систематизирован теоретический и дидактический материал, отвечающий принципу последовательного нарастания сложности.