Иррациональные уравнения с параметрами

Существует несколько способов решения иррациональных уравнений с параметрами. Познакомимся с ними, разобрав следующий пример.

 Пример. В зависимости от значений параметра  решить уравнение

                                                                                (1)

Решение. Решим уравнение (1) пятью способами, которые необходимо знать, ибо наряду с другими подходами они могут быть использованы и при решении иных типов уравнений.

Способ 1. Уравнение (1) равносильно системе

или системе

                                                                                                      (2)

Решая уравнение из системы (2), находим

                                                                                   (3)

откуда следует, что при  уравнение (1) имеет одно решение . Если , то , и тогда уравнение (1) будет иметь два решения при тех значениях параметра , при которых совместна система

,

т.е. при

Уравнение (1) будет иметь только один корень , если , а . В этом случае решая систему

приходим к выводу, что .

Замечая теперь, что при  дискриминант уравнения системы (2) отрицателен, получаем

Ответ: если , то решений нет;

                   если , то ;

                   если , то ;

                   если , то .

Способ 2. Возведя обе части уравнения (1) в квадрат, получим уравнение из системы (2), корни которого задаются формулами (3). Но здесь надо иметь в виду, что при возведении обеих частей уравнения (1) в квадрат могли появиться посторонние корни.

Поэтому при данном способе решения необходимо произвести проверку. Так, подставляя корень  в исходное уравнение, придем к соотношению

,

откуда .

Если же подставить корень  в уравнение (1), то придем уже к отношению , и, таким образом, .

Учитывая теперь, что при  корней нет, а при  имеем , получаем тот же ответ, что и при первом способе решения.

Способ 3. Если воспользоваться геометрическим смыслом квадратного трехчлена, то, обращаясь к равносильной уравнению (1) в системе (2), приходим к выводу, что уравнение (1)будет иметь корни и  в том случае, когда корни квадратного трехчлена  не меньше . Аналитически соответствующие условия записываются в виде системы

Решая эту систему, находим, что .

При  уравнение (1) имеет решение .

Если же , т.е. , то уравнение (1) будет иметь один корень . При  решений нет.

Способ 4. Рассмотрим графики функций

 и

заданных соответственно левой и правой частями уравнения (6.1).

Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут решениями уравнения (1). При  графики не пересекаются (см. рис. 6.1) и значит уравнение (1) решений не имеет.

При  графики касаются и уравнение (1) имеет один корень .

При  уравнение (1) будет иметь корни  и , определяемые формулами (3) (см. рис. 6.2).

При  графики функций  и  пересекаются в одной точке, и значит уравнение (1) имеет одно решение  (см. рис. 6.3)

Способ 5. Перепишем равносильную уравнению (1) систему (2) в виде

Построив тогда в плоскости график функции  при условии (см. рис. 6.4), мы приходим к выводам, полученным ранее четырьмя рассмотренными способами.

Ответ:  если , то решений нет;

                   если , то ;

                   если , то ;

                   если , то .