Теоремы связанные с ДПХ.

Каждой теореме дискретного преобразования Фурье соответствует подобная теорема для дискретного преобразования Хартли. Для полноты представления материала ниже даются все теоремы, в том числе теоремы о свертке и корреляции. Свертка функций непрерывного аргумента, обозначаемая символом , отличается от процедуры циклической свертки дискретных последовательностей, для обозначения которой используется символ . 

Можно отметить, что среднее значение последовательно­сти  определяется величиной H(0), а значение ее среднего квадрата равно .

      Некоторые теоремы для двух различных преобразований характеризуются точным соответствием, как, например  и , тогда как в других случаях имеют место различия.

Теорема о зеркальном изображении. Если из последовательности сформировать ее зеркальное изображение , то в результате ведущий (нулевой) элемент сохранит неизменное положение, а осталь­ные элементы изменят порядок следования на обратный. Таким образом, вместо элемента f(1) исходной последовательности имеем f(-1), который интерпретируется как f(-1 mod N) и равен f(N-1), т.е. является последним элементом новой последовательности. Следовательно, вместо последовательности {a b c d e f g h}имеем {a h g f e d c b}, что в области преобразования соответствует замене вида {ABCDEFGH} {AHGFEDСВ}.

Теорема сложения. Свойство суперпозиции, иллюстрируемое тео­ремой сложения, просто отражает линейность оператора ДПХ.

Теорема о сдвиге. Сначала рассмотрим пример, в котором реали­зуется единичный сдвиг последовательности {a₀ a₁ a₂ ... a_N-1}, имеющей ДПХ вида {α₀ α₁ α₂ ... α_N-1}. В соответствии с теоремой о сдвиге для Т= 1 имеем последовательность {a_N-1 а₀ а₁ а_г … a_N-2},для которой ДПХ равно

{ α ₀ C₁α₁ C₂a₂ ... C _N-1 α_N-1} - { 0 S₁α _N-1S₂α_N-2... S_N-1α₁},

где C_ν = cos (2πν/N),  S_ν = sin(2πν/N).

Для выполнения данной операция сдвига мы перемещаем каждый элемент исходной последовательности на одну позицию вправо. Последний элемент в соответствии с принятым свойством циклично­сти перемещается на первую позицию.

ДПХ состоит из двух последовательностей, одна из которых содержит косинусные, другая - синусные коэффициенты. ДПФ также представляет собой совокупность двух последовательностей с синус­ными икосинусными коэффициентами, однако для ДПХ в отличие от ДПФ для синусной компоненты характерно зеркальное отображе­ние - это свойство именуется обратной индексацией. Для доказа­тельства теоремы о сдвиге подставим f(t+T)вформулу, определяющую прямое ДПХ, и получим

f(τ+T)cas(2πντ/N) = f( )cas[2πν( -T)/N] =

f( )[cas (2πν /N) cos (2πνT/N) + cas'(2πν /N) sin(2 πνT/N)] =

cos (2πνT/N) f( )cas(2πν /N) + sin(2πνT/N) f( )cas'(2πνT/N) =

cos (2πνT/N) H(ν) - sin(2πνT/N) f( )cas(-2πν /N) =

cos(2πνT/N) H(ν) -sin(2πνT/N)H(-ν).

Теорема о свертке. В общем случае преобразование свертки (τ)  f₂(τ)                   содержит четыре компоненты. Основными величинами, которые должны быть вычислены, являются прямые произведения Р_а(ν)= H₁(ν)H₂(ν) и смешанные произведения Р_b(ν)=H₁(ν)H₂(-ν). С использованием этих обозначений имеем H(ν)= N[P_a(ν)-Р_а(-ν)+Р_b(ν)+Р_b(-ν)].

Таким образом, данная процедура включает два, а не четыре дейст­вия умножения. Теперь если Н₂(ν) - четная функция (т. е. Н₂(ν)= H₂(-ν)), то

H(ν) =  NH_l(ν)H₂(ν).

Рассмотрим пример, когда H₂(ν) –чётная функция.

Точно так же простую формулу получим в случае, когда Н₂(ν) является нечетной функцией; при этом имеем H(ν)=NH_l(-ν)H₂(ν).

Вследствие коммутативности Н(ν)=NH_l(ν)H₂(ν), если либо H₁(ν), либо Н₂(ν) являются четными функциями. Часто одна либо другая функция обладает свойствами симметрии или антисимметрии, что приводит к более простым соотношениям. Ввиду важности операции свертки мы вернемся к ней в следующей главе.

Теорема о произведении. В теореме о произведении четыре компо­ненты предполагают выполнение только двух операций свертки, так как две другие просто реализуются путем зеркального отображения двух сомножителей.

Теорема о растяжении. Сходство этой теоремы с соответствую­щей теоремой для случая непрерывной независимой переменной относится к изменению масштаба по оси абсцисс, когда V(t)преобра­зуется в V(t/T).Так как величина T может быть либо больше, либо меньше единицы, операция может представлять собой либо растяже­ние, либо сжатие. В случае дискретной переменной изменения мас­штаба также имеют практическое значение, например, когда последо­вательность регулярных измерений должна быть повторена с боль­шей или меньшей скоростью. Функция V(t/T)определена для любого Т при заданной V(t), но это утверждение несправедливо для f(τ/Т) при заданной функции f(τ), где τ=0,1, … ,N-1. Следовательно, применительно к теореме подобия отсутствует строгая аналогия. Теорема о растяжении имеет отношение только к увеличению мас­штаба времени, что осуществляется добавлением нулей в исходную последовательность. Наиболее просто это можно проиллюстриро­вать на примере.

Пусть последовательность {abcd}имеет последовательность ДПХ {α β γ δ}. Тогда последовательности {а 0 b 0 с 0 d 0} соответствует последовательность ДПХ вида {α β γ δ α β γ δ }.

В правомерности этого результата можно убедиться, анализируя выражение для прямого ДПХ:

α+ βcas τθ+ γcas 2τθ+ δcas 3τθ+ αcas 4τθ+ βcas 5τθ+ γcas 6τθ+ δcas7τθ.

Убеждаемся в том, что при τ = 0 имеем f(0) = а. При нечетном τ сумма равна нулю, для четного τ эта сумма сводится к выражению: α+βcasτθ+γcas2τθ+δcas3τθ, для которого обратное преобразо­вание Хартли имеет вид: {a b c d}.

Теорема о второй производной. Рассмотрим данную теорему на примере экспоненциальной функции.

Выводы по ДПХ.

Свойства ДПХ свидетельствуют в пользу использования этого преобразования в численном анализе. Тот факт, что значения преобразования Хартли являются вещественными, создает удобства при выполнении расчетов. Кроме того, полезно свойство симметрии обращения преобразования, так как не требуется запоминать, к какой области представления отно­сится данная последовательность. Более того, ряд теорем для преобразования Фурье имеет различную форму для разных областей представления (временной или частотной); этот не­достаток отсутствует у ДПХ. Множитель N зависит от обла­сти представления, и от него можно было бы избавиться, однако на практике почти всегда существуют нормирующие или калибровочные факторы, которые должны быть учтены по окончании численных расчетов. Опыт показывает, что послед­ний этап заключается в учете в совокупной форме коэффициен­тов пропорциональности, поэтому отклонение от точного соответствия между прямым и обратным преобразованиями, заключающееся в появлении коэффициента N,не имеет значе­ния в практике вычислений.

Заключение.

Таким образом, в данном реферате были рассмотрены некоторые основы преобразования Хартли. В результате чего можно сделать следующие выводы.

Во-первых, хотя между интегралами преобразования Хартли

отсутствуют существенные отличия от обычных интегральных формул преобразо­вания Фурье, однако на практике эти различия значительны.

       Во-вторых, функция  вещественна в отличие от функции преобразования Фурье.

 В-третьих, обратное преобразование для его реализации требует точно такой же процедуры интегрирования, как и прямое преобразо­вание.

 Наконец,  не является обычным преобразованием Фурье, и мы должны быть готовы к нетрадиционным характеру и свойствам этого преобразования. Значительная часть умозрительных построе­ний относительно преобразования Фурье, а, именно спектра колеба­ния, являющегося функцией времени, непосредственно неприменима к .