Энергетический и фазовый спектры.

Не всегда легко понять характер изменения комплексной функции, имея графики ее вещественной и мнимой частей, однако в оптике и других областях физики более привычным является использование понятия квадрата модуля преобразования, или энергетического спект­ра:

Энергетический спектр является четной функцией частоты и поэтому более прост для понимания. С другой стороны, энергетический спектр содержит в себе, по крайней мере, половину информации об исходном колебании, так как теряется информация о фазе. Тем не менее, для ряда приложений энергетический спектр может оказаться инструмен­том исследования, который необходим.

Энергетический спектр можно получить непосредственно из пре­образования Хартли. Имеем

Рассмотрим энергетический спектр, полученный из преобразования Хартли на примере прямоугольного импульса.

Таким образом, вместо возведения в квадрат вещественной и мнимой частей и их суммирования при данном значении  мы возводим в квадрат и суммируем два значения преобразования Хартли для частот +  и — . При этом результат суммирования должен быть разделен на два, так как каждая из функций вида  и , возведенная в квадрат, равна полному энергетическому спектру, тогда как вещественная и мнимая части содержат по половине этой величины.

В оптике представляет затруднение измерение фазы преобразова­ния Фурье, однако в анализе сигналов рассмотрение фазовых функций (фазочастотных характеристик) является привычной процедурой, хо­тя их понимание и толкование требуют определенной подготовки и опыта. Фазовая функция может быть непосред­ственно вычислена из выражения

Фаза преобразования Фурье может быть также непосредственно получена из преобразования Хартли

В объяснении характера изменения фазы при изменении частоты оказывается полезным опыт. При интерпретации фазы следует учи­тывать, что поведение фазы непосредственно связано с амплитудой, причем большие фазовые изменения происходят вблизи нуля ампли­туды, и наоборот - незначительные изменения фазы при больших амплитудах.

Имеем следующую формулу для определения фазы преобразова­ния Фурье через преобразование Хартли:

Наглядно это можно представить на следующем примере.

Полезной альтернативой одновременному представлению веществен­ной и мнимой частей является построение траектории на комплексной плоскости путем изображения как функции с обозначением на этой траектории значений частоты как параметра. Тогда для любой данной частоты амплитуда | | определяет расстояние от начала координат до соответствующей точки параметрически задан­ной кривой, а фаза преобразования определяет угловую координату. Такая диаграмма для функции изображена на рис.1. Комплексная плоскость для данной диаграммы - это не плоскость из теории функции комплексной переменной, где независимая перемен­ная оказывается комплексной величиной. Здесь независимая пере­менная  вещественна, однако зависимая переменная  является комплексной, и можно рассматривать ее вещественную и мнимую части как декартовы координаты.

Заслуживает внимания тот факт, что при движении по траектории к началу координат скорость «вычерчивания» траектории, измеряе­мая отношением длины дуги к частотному интервалу, уменьшается таким образом, что угловая скорость «бегущей» точки на траектории остается постоянной. Это свойство отражает линейную природу графа argF ( f ); разрывы фазовой функции обусловлены прохождени­ем траектории через начало координат.

Можно также рассматривать это преобразование в виде трех­мерной винтовой траектории, для которой в данном случае можем представить только перспективную проекцию, но может быть сде­лана проволочная модель этой кривой. На рис.2 показана эта винтовая кривая, дополняющая наше представление еще одним из­мерением. Траекторию в полярных координатах можно представить в виде проекции винтовой кривой на плоскость , а вещественную и мнимую части как проекции на горизонтальную и вертикальную плоскости прямоугольной системы координат соответственно.

В определенном смысле преобразование Хартли может рассмат­риваться как гладкая форма представления вещественного колебания. Будучи чисто вещественным, преобразование Хартли не требует других способов представления, тогда как другие способы могут быть непосредственно получены из него.

Теоремы.

Теоремы преобразований полезны тем, что они позволяют избежать сложного математического анализа. Владея рядом теорем, можно получить новые преобразования, исходя из традиционных, свести данную задачу к известной и объединить функции в более сложные формы без необхо­димости все выполнять с самого начала. За счет этого упрощается интегрирование функций, имеющих аналитическое описание.

Численные методы расчетов также оказываются выгодными, ког­да применяются теоремы, позволяющие перейти к более простым или быстрым операциям. Наконец, это обеспечивает владение необходи­мым аппаратом логического мышления.

Рассматриваются два класса теорем. Первый из них связан с такими процедурами, как усечение, модуляция, свертка, и другими общепринятыми операциями, которые могут выполняться над функ­цией. Этот класс теорем дает ответ на вопрос: какой процедуре подвергается (как видоизменяется) преобразование исходной функ­ции? Например, каким образом изменяется преобразование функции, являющейся зеркальным изображением исходной функции? Ответ заключается в следующем: преобразование также изменяется на зеркальное, что может показаться не столько простым, сколько очевидным выводом. Тем не менее, опыт показывает, что подобные знания оказываются полезными, особенно если могут быть применены соображения относительно симметрии, как в данном примере.

Второй класс теорем связан с соотношениями между функциями и их преобразованиями, что обычно может быть выражено в виде равенств. Например, интеграл от функции в бесконечных пределах равен главному значению ее преобразования. Здесь мы вновь имеем крайне простую теорему, которая, однако, избавляет от необходимо­сти выполнять трудоемкое интегрирование, оказывается полезной при проверке численных расчетов и является сильным инструментом в случае, когда при решении какой-либо задачи возникает вопрос о выборе метода ее решения: аналитического или численного.

Значительная часть сведений об этих теоремах может быть сведе­на в таблицы, которые неизменны.