Локальная гладкость приближенного решения МКСЭ

Если при аппроксимации решения в пространстве  для ошибки решения, очевидно, справедлива эквивалентность , то в пространствах более высокой гладкости , , и многоугольной границей разбиения  подобное несправедливо. Более того, показатель гладкости произвольной функции  на , имеющей гладкие следы на частях негладкой границы , ограничен сверху [13]. Это относится к регулярности решения задачи Дирихле в отдельном СЭ  [32; 33; 24]. Ограничение по гладкости может оказаться достаточно жестким и связано с локальным поведением решения в суперэлементных углах. Показатель гладкости зависит как от гладкости правой части граничного условия на отдельных сторонах границы , их совместности в вершинах углов, так и от величины раствора углов, кривизны их сторон и вида исходного уравнения.

3.1. Свойства гладкости приближенного решения МКСЭ

Пусть Λ – один из углов СЭ с границей  раствора α, ; P – его вершина;  – полярная система координат, связанная с Λ. В данном пункте мы рассмотрим преимущественно отдельный угол Λ, полученные таким образом результаты обобщаются на всю расчетную область.

Помимо самого приближенного решения  исследуем также его интерполянт . Отметим, что все полученные здесь результаты для  справедливы и для приближенного решения , а коэффициенты в его разложении, указанные через интерполянт , должны быть заменены аналогичными, заданными через приближенное решение .

Интерполянт  МКСЭ в области СЭ  является решением задачи:

 в ,                                                                        

 на ,                                                                        

где ,  – граничный сплайн-интерполянт решения. Дальнейшие выкладки мы проводим в предположении, что следы совместны для всех углов Λ в СЭ  так, что

,

и аналогично для приближенного решения:

,                                                  

где  и  – отдельные стороны угла Λ, составляющие его границу  и пересекающиеся в точке P.

Утверждение 1 . Пусть граничные базисные функции МКСЭ в некоторой окрестности угла Λ СЭ , на его границах  и , – полиномы порядка не выше ν. Интерполянт приближенного решения  МКСЭ в этой окрестности представим в виде:

где

, , ,

,  – коэффициенты решения (граничного полинома ) на границах ,  перед , . Аналогичное утверждение справедливо и для приближенного решения .

Доказательство. Будем искать решение задачи – в угле Λ СЭ как сумму решений  задач следующего вида:

 в ,                                                                               

на ,                                                                       

где  – константы, . При этом  на . Согласно [17, с. 47] асимптотика этой задачи в угле Λ такова:

                         

Здесь коэффициенты разложения по переменной r (функции ,  и ) бесконечно дифференцируемы по θ (*).

Получим представление интерполянта приближенного решения:

      

где .

Уточним результат, рассмотрев константные коэффициенты разложений. Они представляют интерес для дальнейшего рассмотрения. Выбранные полиномиальные граничные значения бесконечно дифференцируемы в окрестности угла. Решение задачи согласно результату [17, с. 50] может быть найдено в виде:

   

Находим коэффициенты , , , подставляя в задачу . Тогда

, , ,      

где ,  – коэффициенты граничных значений для различных сторон угла  и  соответственно. Граница  соответствует значениям угла , и  – значению .

Отметим, что в первой сумме выражения . Суммирование по всем B дает разложение приближенного решения  в области Λ (где символ B заменен на q):

     

с коэффициентами , , . Выпишем слагаемое при :

                                                     

в обоих случаях принадлежности . #

Замечание. Из проведенного рассмотрения следует также: ,  при , ; в противном случае решение  и  ограничено.

Пример. Для угла квадратного СЭ значение . Приближенное решение МКСЭ , а также его интерполянт в некоторой окрестности углов СЭ представимы в виде следующей конечной суммы:

при линейной интерполяции граничного решения

;

при любой полиномиальной интерполяции порядка выше единицы:

. #

Выражение определяет гладкость интерполянта приближенного решения  МКСЭ в соболевских пространствах. Если  и , то  нерегулярна по отношению к граничному условию так, что  для произвольных , , . В противном случае решение в угле Λ обладает бесконечной гладкостью, поэтому приближенное решение в СЭ  имеет максимальную гладкость по отношению к граничному условию на . То же относится к приближенному решению  МКСЭ.

Рассмотрим пространство . Согласно в его определение включено условие . Мы вводим ещё одно важное предположение о совместности следов в узлах  СЭ, а именно:  считаем выполненным условие

.                                                     

Считаем также, что все углы СЭ направлены во внешность их области: . Пространство , дополненное условием совместности следов , и условием  на раствор углов, обозначим .

Утверждение 2 . Приближенное решение МКСЭ из пространства  принадлежит соболевскому пространству  в пределах каждого СЭ . То же верно для интерполянта .

Доказательство. Предыдущие выкладки показывают, что  в области СЭ , если . Нерегулярный случай  при минимальном значении  из множества  дает . Значит, выполнено . Аналогично для . Заметим, что для дальнейших выкладок это не принципиально, но упрощает некоторые записи. #

3.2. Асимптотическое разложение функции класса H^R(Λ)

Приведем некоторые известные сведения об асимптотическом разложении некоторой функции в многоугольном СЭ. Совместно с пунктом 0 эта информация может быть употреблена для получения ряда оценок. Кроме того, она дает представление и о других возможных вариантах задания граничных базисных функций, не указанных ранее и характеризуемых любой гладкостью по шкале Соболева. Как мы уже отмечали, показатель гладкости такой функции в СЭ всегда ограничен сверху. Это связано с гладкостью  его границы. Получим асимптотическое разложение в окрестностях угловых точек.

Произвольное решение уравнения Лапласа с граничными данными  в угле Λ СЭ  (в некоторой окрестности угловой точки P) разложимо в сумму гладкой и сингулярной частей [24; 25; 35]:

, ,                                                                 

,                                                             

где  обладает максимальной гладкостью, порожденной гладкостью функции  граничного условия, а наличие  обусловлено видом области Λ. Здесь  – локальная система координат в угле Λ; набор параметров λ определен некоторыми характеристическими числами, связанными с уравнением, и может быть дополнен конечным числом положительных действительных параметров , ; причем и в том, и в другом случае диапазон λ ограничен сверху гладкостью граничных данных; Q – конечное число;  – константы. Рассматриваемое нами эллиптическое уравнение не содержит членов порядка меньше максимального. Кроме того, границы  СЭ в некоторой окрестности каждого из углов Λ считаем прямыми линиями.

Классическим способом определения регулярности решения линейного эллиптического уравнения с постоянными коэффициентами является метод В.А. Кондратьева(*), использующий преобразование Меллина [21] исходного уравнения в угле Λ в задачу на отрезке , ,  – изображение. Выписанное уравнение на собственные значения  можно получить и определенной заменой переменных, преобразовывающей задачу в угле в задачу на некоторой простой области, например, полосе [17], полупространстве [33] в случае уравнения Лапласа. Несложно определить его решение как решение задачи Штурма-Лиувилля. Оно имеет вид: , , . Обратное преобразование Меллина даст разложение решения: , где  принадлежит конечному промежутку,  

В случае уравнения Лапласа коэффициенты λ разложения включают в себя конечный ряд из полученных характеристических чисел  для  [25; 32].

Наличие неоднородных граничных условий на  приводит к возникновению дополнительных слагаемых в таком разложении, гладкость которых измеряется в пространствах Соболева с весом  [35]. Для определения их полной асимптотики и регулярности в рамках шкалы “обыкновенных” пространств Соболева требуется дополнительное исследование. Например, полиномиальная правая часть в угле раствора  (см. пункт 0) приводит к разложению с порядком . Величина  регулярна при рассмотрении пространства с показателем гладкости , она регулярна также и для некоторых пространств Соболева с весом. При работе в шкале соболевских пространств , , её уже необходимо учитывать как нерегулярную часть. Отметим, что шкала весовых пространств “с однородной нормой”, возникающих при использовании метода Кондратьева, не имеет пересечений со шкалой пространств Соболева  [32]. Мы ее не используем.

Нас интересует множество функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа в областях , условиям и со следами класса , . Ранее оно было обозначено через . Вообще говоря, пространство  в угле Λ содержит в себе набор весовых пространств “с неоднородной нормой” , см. [32], характеризующийся индексами ,  определенного диапазона. Уточнение асимптотики выражения – со следами из , , может быть выписано согласно [32, p.p. 284, 300]. А именно, в угле Λ справедливо представление:

    ,                                            

где , ; ; ;  для некоторого . Слагаемое  является полиномом от функции u порядка не выше . Функции , ,  – полиномы от переменной  с коэффициентами (зависящими от ) класса . Функция  обладает максимальной гладкостью по отношению к заданному граничному условию . Функция  действует в пространство , . Из общих теорем вложения для данных весовых пространств (напр., [26]) следует, что  для . При этом для функции u при  справедливо условие .

Такое разложение достаточно громоздко, но содержит все необходимые нам факты, связанные с асимптотикой  в угле СЭ. Подчеркнем, что вид разложения является общим, его коэффициенты могут зависеть от раствора угла [33], величины R, граничных условий [37] и т.п.

Заметим, что для , асимптотика содержит слагаемое , его гладкость не выше . Для  в общем случае для решения справедливо соотношение . При этом , где  – обозначение целой части числа. Если , то первая сумма содержит слагаемые только в случае угла .

Отсюда для пространства  следует вложение

.                                                                        

Напомним, что из общего определения выполнено вложение вида

, .                                                                 

Отметим, что достаточно хорошо известны результаты и оценки, связанные с сильным решением задачи Дирихле  в многоугольной области  (см. [22; 23]). При этом достаточно легко заметить, что все соотношения в данных работах полностью согласуются с выписанным разложением . Мы не используем данные результаты, поскольку нас интересует весь диапазон возможной гладкости. Используем асимптотику либо её более общий вид . Последующие рассуждения относятся к уточнению таких оценок, что не представляется возможным, оставаясь лишь в рамках шкалы .

Введем ещё одно определение. Оператор следа m-го порядка  в пространстве  задан соотношением

, ,                                                

где n – внешняя единичная нормаль к границе , . Оператор  действует из  в  для , и допускает “обычное” расширение в слабом смысле, например, :  для .

 

4. Оценки решения по шкале H^M(Ω)

Пусть задача – обладает гладким решением , . Рассмотрим вопрос об аппроксимации первых производных , как и ранее, в норме пространства . Из того факта, что

,

следует, что нам нужны оценки погрешностей решения u в норме пространства . Обобщая на произвольный порядок производных , , , можно исследовать поведение погрешностей решения u в нормах пространств  и, следовательно, определяя свойства МКСЭ о приближении производных порядка  в норме пространства Соболева .

Рассмотрим пример M = 2. Из гармоничности градиентов искомого и приближенного решений имеем

,                                           

где, вообще говоря, , так как условие совместности для градиентов не выполнено. Пункт 0 показывает, что  в области СЭ , если , поэтому запись ошибки решения в норме  корректна.

Запишем с использованием стандартных преобразований:

  ,  

где  – производная по направлению касательного вектора  на отрезке ;  – след первого порядка  на , см. .

Если бы выражение для ошибки  допускало принадлежность классу , , , на отдельном отрезке , то стала бы возможной запись неравенства  как следствие непрерывного вложения соответствующих пространств. Тогда слагаемые под знаком нормы в правой части выражения оценивались бы согласно “стандартным” выкладкам [10–12]. Заметим, что здесь нас интересуют не только априорные оценки погрешностей производных, но и сама сходимость производных приближенного решения МКСЭ к точному решению.

Ясно, что . Для следа первого порядка (нормальной производной) приближенного решения  на отрезке  нет точного аналитического выражения, оно известно лишь для следа . Можно определить регулярность  лишь в окрестности узлов , благодаря пункту 0.

Рассмотрим далее угол Λ, поэтому через  будем обозначать произвольную его сторону ; как и ранее, P – вершина угла Λ.

Несложно показать, что на границе угла  справедливо равенство:

.

Тогда из разложения для интересующего диапазона  получим следующий результат:

  ;

Отметим, что первым слагаемым, характерным для каждого из разложений и имеющим минимальный показатель  (либо ) является величина  при , зависящая от переменной . Здесь также , поскольку .

Перепишем полученные выражения, подставляя  во вторую сумму(*):

Отсюда ясно, что в окрестности вершины P произвольного угла СЭ Λ раствора α справедливы соотношения:  и  для  или производная  регулярна, если .

Более того, свойства гладкости  можно определить, воспользовавшись следующими результатами.

Утверждение 3 [26]. Элемент  из пространства  является образом некоторой функции  в угле  раствора α с вершиной P в результате действия согласно оператора , тогда и только тогда, когда выполнены соотношения

,                                                                           

,                               

,                                        

  

и для , , выполнено некоторое интегральное условие, где  – существующие конечные производные по отношению к касательным векторам  для границы , .

В том случае, когда , условия – принимают вид:

,                                                                            

,                                                                    

,                                                                  

                                                                 

и для , ,

, при .  

Отметим, что число условий совместности ограничено, несмотря на увеличение показателя s. Это связано с тем, что мы исследуем лишь величины  и ; это число таким образом связано непосредственно с порядком рассматриваемой нормы M.

Вариант  выписан для примера вследствие простоты записи. Не составляет труда перенести результаты на общий случай. Для квадратного СЭ  с узлами  и сторонами , , , справедливо утверждение.

Утверждение 4 [26]. Пусть  и . Элемент , , , из пространства  есть образ при отображении  некоторой функции из пространства Соболева  тогда и только тогда, когда для всех  и для всех , , , выполнено  

, где ,         

для , , выполнено

,         

и принято обозначение ,  – касательные вектора для границы .

Замечание Пространство , дополненное набором таких условий, не является замкнутым в  в стандартной норме. Оператор  непрерывно действует из  в такое модифицированное пространство и допускает непрерывный обратный при s > 2 в том случае, когда оно снабжено нормой с добавлением слагаемого, совпадающего с левой частью или , см. также [26].#

Таким образом, для исследования свойств нормальной производной