Обозначения и определения

Локальная гладкость и асимптотика решения

Метода конечных суперэлементов

В угловых точках разбиения

 

 

Москва – 2008

Аннотация(*)

 

В работе представлены результаты теоретических исследований характеристик метода конечных суперэлементов Федоренко (МКСЭ). Определены регулярность приближенного решения МКСЭ, его асимптотика в окрестности угловых точек разбиения области на подобласти-суперэлементы.

 

M. Galanin, S. Lazareva

 

Local regularity and asymptotic behavior of the

 finite superelement method solution

Near the corner points of decomposition

 

Abstract

 

In this paper characteristics of Fedorenko finite superelement method (FSEM) is theoretically investigated. Regularity of the approximate solution is given. Asymptotics near the corner points of decomposition on subdomains-superelements is examined.

 

Содержание

 

Введение  .……………………………………………………………………....3

1. Принципы МКСЭ.. 4

2. Обозначения и определения. 8

3. Локальная гладкость приближенного решения МКСЭ.. 14

4. Оценки решения по шкале H^M(Ω) 23

Заключение. 28

Список литературы.. 28

Введение

Основанием для разработки и развития метода конечных суперэлементов Федоренко (МКСЭ) является проблема численного решения сложных вычислительных задач, содержащих резкие особенности, или “сингулярности”, решения. В этих случаях размеры расчетной области составляют значительную величину в сравнении с областью проявления особенностей.

Данная работа является продолжением исследований [3 – 12] по выявлению качественных характеристик МКСЭ. В ней определены регулярность приближенного решения МКСЭ, установлена его асимптотика в окрестностях угловых точек разбиения области на подобласти-суперэлементы (СЭ). Работа выполнена на примере задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Для достижения поставленной цели использованы теория весовых пространств Соболева и Кондратьева, теория эллиптических задач в областях с угловыми точками, свойства регулярности решений вариационных задач в негладких областях. Работа направлена на поиск оптимальных аппроксимаций метода и способов его применения.

МКСЭ позволяет решать задачи, содержащие мелкие “сингулярности” в расчётной области в пространстве слабых решений, обладая при этом погрешностями, оцениваемыми через ограничения этого решения на гладкие части суперэлементных границ. Это не требует использования сеток, сгущающихся в окрестностях “сингулярностей”, и связано с выбором особых аппроксимирующих пространств. Однако поведение приближений МКСЭ в пространствах сильных и гладких решений также представляет интерес.

При решении задачи рассматриваемая проблема возникает естественным образом. Как правило, искомое решение при достаточно гладкой границе области и подходящих граничных условиях обладает производными (например, суммируемыми с квадратом) до порядка . Вторым распространенным вариантом является гладкое, обладающее производными высокого порядка, решение в окрестностях границ разбиения области на подобласти-суперэлементы.

Производные представляют важные (а часто и определяющие) физические характеристики поставленной задачи. Например, такими характеристиками могут быть скорости и ускорения в механике, гидродинамике; напряжения, деформации и скорость их роста в теории упругости; напряженности и силы в теории поля; мощность тепловых источников и потоки газа в теории переноса теплоты и др. Полученные в работе результаты позволяют определить поведение погрешностей приближения производных решения первого и более высокого порядков.

Связующим звеном такого исследования является определение гладкости приближений МКСЭ, их асимптотического поведения в окрестностях углов декомпозиции. Помимо того, определение возможной гладкости приближенного решения в пределах СЭ и во всей области и нахождение его асимптотики представляют самостоятельный интерес.

 

Принципы МКСЭ

Метод конечных суперэлементов (МКСЭ) предложен в работах Федоренко и его коллег [1–2] и входит в класс численных методов, основанных на декомпозиции области в сочетании с выбором особой аппроксимации решения. Функции, с помощью разложения по которым разыскивается приближенное решение МКСЭ, являются решениями исходной системы уравнений в части области со специальными условиями на ее границе и, следовательно, заведомо содержат в себе ряд характеристик решения рассматриваемой задачи. Для авторов метода и данной работы главный интерес представляют задачи, характеризующиеся наличием ряда резких особенностей, проявляющихся на малых по сравнению с основной областью пространственных подобластях. Такие особенности могут представлять собой “сингулярности” решения, порожденные резкими неоднородностями геометрии области либо физической или математической модели. В работах [1–12] эффективность МКСЭ подтверждена примерами решения задач разнообразного физического происхождения.

Все дальнейшие рассмотрения мы проведем на примере задачи Дирихле для уравнения Лапласа в двумерной области . Область  представляет собой квадрат с исключенными из него кругами, радиус которых мал по сравнению с размерами Ω (рис. 1). Полагаем, что в окрестностях таких мелких отверстий сосредоточены все резкие “сингулярности” решения.

 в ,                                                                                 

 на ,                                                                                 

где  – искомая функция,  – граница расчетной области,  – некоторая известная функция на .

Как и в обычном методе конечных элементов (МКЭ) для численного решения задачи разобьем расчетную область на некоторое число подобластей, называемых суперэлементами. Каждое предполагаемое место сосредоточения особенности (отверстие, неоднородность и т.п.) при этом должно быть заключено строго внутри одного СЭ. На рис. 2 показан пример равномерного разбиения области  на квадратные СЭ  с границей , , где  – общее число подобластей-суперэлементов. Функции, разложением по которым разыскивается приближенное решение, для краткости будем называть базисными. Они являются финитными, их носители связаны с СЭ. При этом задание аппроксимаций в МКСЭ связано не со всей двумерной подобластью , а только с её одномерной границей.

Рассмотрим аппроксимации МКСЭ в одном СЭ , где  - некоторое фиксированное число. На его одномерной границе  зададим набор функций , , которые назовем граничными базисными функциями. В узлах СЭ  и на границе его отверстия  они равны

, , ,                                                  

где  – символ Кронекера. Узлы СЭ  расположены только на его ребрах и в углах (рис. 3). Символ , имеющий нулевой индекс, обозначает не один узел, а всю границу отверстия. В том случае, если СЭ  не содержит отверстия, полагаем, что  на всей .

Ранее в [6; 9] предложены и исследованы различные варианты продолжения этих функций с узлов  на ребра СЭ. Варианты заключаются в представлении базисных граничных функций на каждом из ребер границы некоторым “стандартным” интерполянтом [19]: полиномиальным, кусочно-линейным, сплайном и т.д. Одна из таких функций  при кусочно-линейной зависимости представлена на рис. 4, а при полиномиальной зависимости второго порядка на ребрах границы СЭ – на рис. 5.

Граничные базисные функции заданы для всех узлов и СЭ в области . Предполагается, что функции , , определенные на одном и том же ребре соседних СЭ  и , на нем совпадают, т.е.

, ,

для всех  и всех соседних СЭ , . Кроме того, на внешней границе  необходимо удовлетворить главное граничное условие :

, , .

Каждая построенная граничная базисная функция  однозначно определяет функцию  в СЭ . Она является решением задачи Дирихле следующего вида:

 в ,                                                                              

 на .                                                                                

Функции , , задают базисные функции МКСЭ в СЭ . Базисные функции единообразно задаются в каждом из СЭ , , области расчета . Пример базисной функции  показан на рис. 6. Он соответствует граничной базисной функции , заданной полиномом второго порядка (рис. 5). Представляет интерес дальнейшее рассмотрение вариантов МКСЭ при полиномиальной или сплайновой интерполяции.

Заметим, что сингулярности решения задачи в окрестностях отверстий учтены посредством базисной функции с нулевым индексом  в каждом из СЭ. Остальные функции , , при наличии отверстия в СЭ  обращаются в ноль на его границе согласно . Если в СЭ отверстия нет, то .

 

рис. 1

рис. 2

рис. 3

рис. 4

рис. 5

рис. 6

 

При помощи построенного базиса решение исходной задачи внутри каждого отдельного СЭ разыскивается в следующем виде:

, .                                                              

Таким образом определяется приближенное решение МКСЭ  во всей расчетной области . При этом неизвестные значения  находятся с помощью обычного метода Бубнова-Галеркина при выборе функций  в качестве базисных и пробных [3–12].

В классическом случае эллиптических уравнений второго порядка при должных оговорках относительно гладкости границы, коэффициентов и граничных функций слабые решения принадлежат пространству Соболева . Следы этих решений на границе  суперэлементного разбиения области принадлежат пространству Соболева  с полуцелым показателем гладкости [16; 18]. Выбор функции, аппроксимирующей след решения на границе разбиения в норме пространства , и применение МКСЭ приведут к приближенному решению, аппроксимирующему в  точное решение.

В предыдущих работах исследовано влияние выбора метода аппроксимации на границе разбиения на результирующую точность расчетов метода. Получены теоретические (априорные) оценки погрешностей метода в зависимости от способа приближения [10–12]. Неясным остался вопрос о сходимости или расходимости ошибок производных сильного решения разного порядка. Такое исследование изначально затруднено особым “нестандартным” видом получаемого приближенного решения МКСЭ и его ограничениями по гладкости.

Данная работа посвящена теоретическому анализу МКСЭ Федоренко. В ней рассмотрена регулярность приближенного решения, получена его асимптотика в углах суперэлементного разбиения. Она представляет как отдельный интерес, так и служит для получения оценок погрешности производных различного порядка. Результаты получены на примере задачи – .

 

Обозначения и определения

Будем предполагать наличие такой гладкости функции  в (2) и границы области , которые достаточны для того, чтобы искомое решение принадлежало  [16; 23]. Сохраним далее введенные обозначения:  – расчетная область (рис. 2),  – граница СЭ ,  – совокупность всех суперэлементных границ,  – общее число СЭ в области,  – искомое и  – приближенное решение МКСЭ.

Как правило, СЭ  является многоугольником, так что необходимо учитывать тот факт, что  принадлежит классу  непрерывности. Будем рассматривать лишь случай, когда  – граница многоугольника либо граница, состоящая из конечного числа гладких кривых. В таком случае , , где L – число сторон  (или гладких частей границы) СЭ . Полагаем, что все вершины углов границы СЭ направлены во внешность области, то есть раствор углов не превышает π. Рассмотрим варианты МКСЭ, использующие полиномиальной либо сплайн-интерполяцию на границах СЭ. В случае сплайн-интерполяции  обозначают те отрезки разбиения суперэлементных границ, на каждом из которых интерполянт представляет собой полином (L – их число).

Определим объекты нашего рассмотрения.

Пространство всех полиномов порядка не выше  на отрезке  обозначим через . Введем  – пространство заданных на границе S полиномов порядка не выше  на каждой из частей  границы. Обозначим символом  пространство всех сплайнов порядка не выше , построенных на разбиении  на  отрезок длины . При этом . Полиномиальная интерполяция служит частным случаем интерполяции сплайнами, в которой  – число отрезков  на S, поэтому при её рассмотрении вариант полиномиальной граничной интерполяции МКСЭ отдельным образом не выделяется.

Аппроксимирующее пространство  МКСЭ – линейная оболочка, образованная всеми базисными функциями МКСЭ с граничной интерполяцией посредством сплайнов , т.е.

.  

Здесь след функции на S определен равенством . Оператор взятия следа , заданный на  соотношением

, ,                                                        

непрерывно действует из пространства  в  для всех . При этом существует непрерывный оператор, обратный к  и действующий из  в . Такой общий случай действия оператора  справедлив как для гладкой, так и для многоугольной или просто липшицевой границы  [16; 31]. Отметим, что определение  содержит условие

почти всюду на ,                                             

для всех  и всех соседних СЭ , . Это соотношение, очевидно, не всегда выполнено для пространства слабых решений задачи  (см., например, [36]). Аппроксимирующее пространство МКСЭ содержит его как “главное условие”, накладываемое на все базисные функции. Соотношение не включено в для сохранения более компактной записи. Иногда, если это не вызовет недоразумений, мы будем использовать также символ  без обозначения множества, на котором определена область значений оператора взятия следа.

Аналогичным образом определено и а ппроксимирующее пространство  МКСЭ, представляющее собой линейную оболочку, образованную базисными функциями МКСЭ с граничной интерполяцией посредством полиномов  порядка не выше ν.

В определение аппроксимирующего пространстване входят условия совместности функций в узлах  СЭ вида:

, ,                                                       

на соседних отрезках  границы S , . Условие , как правило, в МКСЭ выполнено, поскольку введено в определение граничных базисных функций  (см. ). Оно связано с расчетом базисных функций МКСЭ, являющихся решениями задач – , и заданием интерполянта  для них, непрерывного на всей границе . Линейная оболочка таких базисных функций МКСЭ согласно определению и составляет аппроксимирующее пространство. Тем не менее, условие можно ввести без ограничения общности метода, если непрерывность искомой функции в окрестностях узлов СЭ заведомо известна, а все особенности задач заключены строго внутри СЭ. В частности, всегда для сильного решения , .

Отметим, что в определении использован оператор Лапласа, определяющий гармоническую функцию в СЭ. Под гармоничностью некоторого слабого решения  в произвольной области Ω мы понимаем его удовлетворение уравнению Лапласа в следующей обобщенной постановке:

.                          

Далее как для слабого, так и для сильного решения продолжаем формально пользоваться кратким обозначением .

Характерным свойством аппроксимации слабых решений МКСЭ является возможность рассмотрения задачи – не просто в энергетическом пространстве , а в некотором его подпространстве, обозначаемом здесь . Это пространство  снабжено дополнительным свойством гармоничности входящих в него функций в каждом из СЭ  по отдельности:

.

Аппроксимирующее пространство МКСЭ является подпространством данного пространства. Определение  включает в себя условие :

 почти всюду на ,                                              

для всех  и всех соседних СЭ , . Перепишем его эквивалентно также в виде:

 

Здесь и далее везде мы будем использовать оператор следа , поэтому сделаем несколько замечаний о смысле данного определения.

Глобальное задание следа на границе  мы связываем с его стандартным определением. На пространстве  оператор следа  задан формулой . Если бы граница  обладала бесконечной гладкостью, то было бы выполнено соотношение  при любом значении . Для произвольной замкнутой липшицевой области  оператор следа  действует из пространства  в , однозначно определен, ограничен и имеет ограниченный обратный только при выполнении условия . При этом, если , то область значений шире, чем , см. [31; 30; 34; 15; 27]. В случае  для шкалы пространств Соболева в липшицевой области известно немного (то же и для более общего случая про­странств Бесова), но, если , то  действует из  в  [28; 14]. Кроме того, гармонические функции обладают дополнительной гладкостью, и имеет смысл рассмотрение случая пространств Бесова [29; 31].

Учитывая тот факт, что  – многоугольная область с границей, гладкой вне стратифицированных особенностей, далее возможно “улучшить” этот результат, вводя определение следа локально. Оператор следа  определен только на каждой из L гладких частей (ребер)  границы , . Локальное определение следа  [26; 20] мы связываем именно с таким заданием, а именно: . Тогда локальный оператор  при  непрерывен и действует из  в . Для следа на всей S: . Обозначение  в зависимости от случая мы далее не меняем. Локальный след, очевидно, совпадает с глобальным, если последний корректно определен. При действии оператора  на функцию из пространства Соболева с произвольным показателем гладкости  считаем оператор следа локальным. Это необходимо учитывать, например, при использовании граничных интегральных уравнений и работе с ними. Локальные следы более высокого порядка также обладают общими свойствами на многоугольной границе, см., напр., [26]. В дальнейшем мы используем запись вида , которая является условным обозначением, и .

Нам понадобятся следующие пространства, обозначаемые через :

, 

для любых , . При  имеем определение пространства . В определение  включено и условие . Рост показателя R характеризует увеличение гладкости функций  из этого пространства на всех гладких частях суперэлементных границ. Поскольку для следа любой функции  из пространства  справедливо включение , то выполнено включение:

.                                                                           

Обратное вложение при  на границе класса  не имеет места. Кроме того, любая функция  однозначно определена своим следом  на S (см. напр., [32]).