Производная сложной функции

Справочник по математике

ТРИГОНОМЕТРИЯ

Единичная окружность

Градусная мера углов                                 Радианная мера углов

 

                            Угол в π радиан равняется углу в 180⁰, т.е. π = 180⁰

Чтобы перейти от радианной меры углов к градусной, нужно букву π заменить на 180 и посчитать:

Чтобы перейти от градусной меры углов к радианной, нужно перейти к радианам. Например:

 

Таблица основных значений тригонометрических функций

Расширенная таблица основных значений

Тригонометрических функций

	0
	0
	0				1				0
	1				0	-	-	-	-1
	0		1		-	-	-1	-	0
	-		1		0	-	-1	-	-

	-	-	-	-1	-	-	-	0
	-	-	-	0				1
		1		-	-	-1	-	0
		1		0	-	-1	-	-

 принимают только значения из промежутка [-1; 1]

Знаки функций по четвертям

Свойства функций

sin(-x) = - sinx               cos(-x)=cosx

tg(-x)= - tgx                     ctg(-x)= - ctgx

Формулы приведения

Для функций

1) Функция меняется на противоположную, если в скобке - дробь и не меняется, если дроби в скобке нет.

2) Знак получаемой функции определяется как знак исходной функции в четверти.

Все получаемые значения можно найти в таблице:

sinx	cosx	cosx	sinx	-sinx	-cosx	-cosx	-sinx	sinx
cosx	sinx	-sinx	-cosx	-cosx	-sinx	sinx	cosx	cosx
tgx	ctgx	-ctgx	-tgx	tgx	ctgx	-ctgx	-tgx	tgx
ctgx	tgx	-tgx	-ctgx	ctgx	tgx	-tgx	-ctgx	ctgx

Основные формулы тригонометрии.

Основные тождества

,  ,

, ,

Формулы двойного угла.

, ,

 

, ,

 

 

Формулы сложения и вычитания

,

,

 

4. Формулы произведения        5. Формулы суммы и разности

                                                   

                                                                    

Обратные тригонометрические функции

Арксинус:  

Арккосинус:

Арктангенс:

Арккотангенс:

 

Свойства обратных функций                             

arcsin(-x)= - arcsinx                   arccos(-x)= π - arccosx

arctg(-x)= - arctgx                    arcctg(-x)= π – arcctgx

Общие решения тригонометрических уравнений

Прежде чем решить тригонометрическое уравнение, его, если нужно, приводим к простейшему виду (т.е. слева должна стоять только лишь функция, а справа только одно число, например ). Решаем уравнение с помощью общих формул, т.е. подставляем вместо букв в формуле реальные числа, которые даны в уравнении. Для каждого уравнения свое общее решение, т.е в уравнении с синусом общее решение но может содержать арккосинус или арктангенс, а может быть только арксинус!

Общие решения

Частные решения

Если в уравнении с синусом или косинусом в качестве числа стоит 0, 1, -1 то решение этого уравнения по общей формуле записывать не нужно, а сразу выписать ответ:

 

            

  

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ .

Правила дифференцирования

Постоянная выносится за знак производной

Производная суммы             

Производная произведения

Производная частного          

, c – постоянная, число.

 

Таблица производных

Производная сложной функции

Если функция сложная, т.е. аргумент функции – тоже функция, то находя ее производную, нужно сначала найти производную первой или главной функции и еще умножить на производную второй функции, которая является аргументом первой (главной) функции, т.е.

Если вторая функция, которая дает сложность – линейна, то производная данной функции находится так:

Пример 1 ,

Пример 2.