Теоретический материал

Рассмотрим два метода приближенного вычисления определенного интеграла – метод трапеций и метод Симпсона.

Рассмотрим демонстрационный пример с рисунком. Вычислить определенный интеграл
В данном примере интеграл не берётся – перед вами не берущийся, так называемый интегральный логарифм. А существует ли вообще этот интеграл? Изобразим на чертеже график подынтегральной функции :
Подынтегральная функция непрерывна на отрезке и определенный интеграл численно равен заштрихованной площади, но интеграл не берётся. В подобных случаях на помощь приходят численные методы.

Задача встречается в двух формулировках:

1) Вычислить определенный интеграл приближенно, округляя результат до определённого знака после запятой. Например, до двух знаков после запятой, до трёх знаков после запятой и т.д. Предположим, получился приближенный ответ 5,347. На самом деле он может быть не совсем верным (в действительности, скажем, более точный ответ 5,343). Наша задача состоит лишь в том, чтобы округлить результат до трёх знаков после запятой.

2) Вычислить определенный интеграл приближенно, с определённой точностью. Например, вычислить определённый интеграл приближенно с точностью до 0,001. Это значит, что если получен приближенный ответ 5,347, то все цифры должны быть правильными. А точнее ответ 5,347 должен отличаться от истины по модулю (в ту или другую сторону) не более чем на 0,001.

Существуют несколько основных методов приближенного вычисления определенного интеграла, который встречается в задачах:

Метод прямоугольников. Отрезок интегрирования разбивается на несколько частей и строится ступенчатая фигура (гистограмма), которая по площади близка к искомой площади:
Точность построения чертежа не идеальна–они лишь помогают понять суть методов. В данном примере проведено разбиение отрезка интегрирования на три отрезка: . Очевидно, что чем чаще разбиение (больше более мелких промежуточных отрезков), тем выше точность. Метод прямоугольников даёт грубое приближение площади, поэтому очень редко встречается на практике. 

Метод трапеций. Отрезок интегрирования разбивается на несколько промежуточных отрезков, и график подынтегральной функции приближается к ломаной линии:
Таким образом, наша площадь (синяя штриховка) приближается суммой площадей трапеций (красный цвет). Отсюда и название метода. Легко заметить, что метод трапеций даёт значительно лучшее приближение, чем метод прямоугольников (при одинаковом количестве отрезков разбиения), естественно, чем больше более мелких промежуточных отрезков, тем будет выше точность. Метод трапеций чаще встречается в практических заданиях, разберём несколько примеров.

Метод Симпсона (метод парабол). Это более совершенный способ – график подынтегральной функции приближается не ломаной линией, а маленькими параболками. Сколько промежуточных отрезков – столько и маленьких парабол. Если взять те же три отрезка, то метод Симпсона даст ещё более точное приближение, чем метод прямоугольников или метод трапеций.

 Чертеж строить нет смысла, поскольку визуально приближение будет накладываться на график функции (ломаная линия предыдущего пункта –практически совпала).

Задача на вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона – самое популярное задание на практике.

Вычислить определенный интеграл методом трапеций?

Рассмотрим определенный интеграл , где – функция, непрерывная на отрезке . Проведём разбиение отрезка на равных отрезков:
. При этом, очевидно: (нижний предел интегрирования) и (верхний предел интегрирования). Точки также называют узлами.

Тогда определенный интеграл можно вычислить приближенно по формуле трапеций:
, где:
– длина каждого из маленьких отрезков или шаг;
– значения подынтегральной функции в точках .

Практическая работа №6

Тема «Решение задач на нахождение по таблично заданной функции (при n =2), функции заданной аналитически. Исследование свойств функции для определения эффективности планирования технического цикла объектов связи на железнодорожном транспорте»