Формула Бернулли. Формулы полной вероятностей и Байеса.

5.1. Повторение испытаний. Формула Бернулли.

       Если производится некоторое количество испытаний, в результате которых может произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом из испытаний не зависит от результатов остальных испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

       Допустим, что событие А наступает в каждом испытании с вероятностью Р(А)=р. Определим вероятность Р_т,п того, что в результате п испытаний событие А наступило ровно т раз.

       Эту вероятность в принципе можно посчитать, используя теоремы сложения и умножения вероятностей, как это делалось в рассмотренных выше примерах. Однако, при достаточно большом количестве испытаний это приводит к очень большим вычислениям. Таким образом, возникает необходимость разработать общий подход к решению поставленной задачи. Этот подход реализован в формуле Бернулли. (Якоб Бернулли (1654 – 1705) – швейцарский математик)

       Пусть в результате п независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие А наступает с вероятностью Р(А) = р, а противоположное ему событие  с вероятностью .

       Обозначим A_i – наступление события А в испытании с номером i. Т.к. условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны.

       Если в результате п опытов событие А наступает ровно т раз, то остальные п-т раз это событие не наступает. Событие А может появиться т раз в п испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из п элементов по т. Это количество сочетаний находится по формуле:

       Вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:

Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получаем формулу Бернулли:

       Формула Бернулли важна тем, что справедлива для любого количества независимых испытаний, т.е. того самого случая, в котором наиболее четко проявляются законы теории вероятностей.

       Пример. По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти вероятность того, что в цель попали не менее трех раз.

       Вероятность не менее трех попаданий складывается из вероятности пяти попаданий, четырех попаданий и трех попаданий.

       Т.к. выстрелы независимы, то можно применить формулу Бернулли вероятности того, что в т испытаниях событие в вероятностью р наступает ровно п раз.

       В случае пяти попаданий из пяти возможных:

       Четыре попадания из пяти выстрелов:

       Три попадания из пяти:

Окончательно, получаем вероятность не менее трех попаданий из пяти выстрелов:

5.2. Формула полной вероятности

       Теорема. Вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий , равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события А.

       Фактически эта формула полной вероятности уже использовалась при решении примеров, приведенных выше, например, в задаче с револьвером.

       Доказательство. Т.к. события  образуют полную группу событий, то событие А можно представить в виде следующей суммы:

       Т.к. события  несовместны, то и события AH_i тоже несовместны. Тогда можно применить теорему о сложении вероятностей несовместных событий:

       При этом

       Окончательно получаем:

Теорема доказана.

       Пример. Один из трех стрелков производит два выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна 0,4, для второго – 0,6, для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в цель попадут два раза.

       Вероятность того, что выстрелы производит первый, второй или третий стрелок равна .

       Вероятности того, что один из стрелков, производящих выстрелы, два раза попадает в цель, равны:

       - для первого стрелка:

       - для второго стрелка:

       - для третьего стрелка:

       Искомая вероятность равна:

5.3. Формула Бейеса. (формула гипотез)

       Пусть имеется полная группа несовместных гипотез  с известными вероятностями их наступления . Пусть в результате опыта наступило событие А, условные вероятности которого по каждой из гипотез известны, т.е. известны вероятности .

       Требуется определить какие вероятности имеют гипотезы   относительно события А, т.е. условные вероятности .

       Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события.

       Эта формула называется формулой Бейеса.

       Доказательство. По Теореме умножения вероятностей получаем:

       Тогда если .

Для нахождения вероятности P(A) используем формулу полной вероятности.

       Если до испытания все гипотезы равновероятны с вероятностью , то формула Бейеса принимает вид: