Геометрический метод определения вероятности.

Введем понятие геометрической вероятности, т.е. вероятности попадания точки в какой – либо отрезок или часть плоскости (пространства).

Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве).

Элементарные исходы – это отдельные точки G, любое событие – это подмножество этой области, пространства элементарных исходов G. Можно считать, что все точки G «равноправны» и тогда вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере (длине, площади, объему) и не зависит от его расположения и формы.

Таким образом, в общем случае, если возможность случайного появления точки внутри некоторой области на прямой, плоскости или в пространстве определяется не положением этой области и ее границами, а только ее размером, т. е. длиной, площадью или объемом, то вероятность попадания случайной точки внутрь некоторой области определяется как отношение размера этой области к размеру всей области, в которой может появляться данная точка. Это есть геометрическое определение вероятности .

где  – геометрическая мера, выражающая общее число всех возможных и равновозможных исходов данного испытания, а  – мера, выражающая количество благоприятствующих событию  исходов. На практике в качестве такой геометрической меры чаще всего выступает длина или площадь, реже объём.

Пример. Пусть на плоскости задана некоторая область  площадью , в которой содержится другая область  площадью

 В область  наудачу бросается точка. Чему равна вероятность того, что точка попадет в область ? При этом предполагается, что наудачу брошенная точка может попасть в любую точку области , и вероятность попасть в какую-либо часть области  пропорциональна площади части и не зависит от ее расположения и формы. В таком случае вероятность попадания в область  при бросании наудачу точки в область

Пример. Круглая мишень вращается с постоянной угловой скоростью. Пятая часть мишени окрашена в зеленый цвет, а остальная — в белый:

По мишени производится выстрел так, что попадание в мишень — событие достоверное. Требуется определить вероятность попадания в сектор мишени, окрашенный в зелёный цвет.

Решение. Обозначим  — «выстрел попал в сектор, окрашенный в зелёный цвет». Тогда . Вероятность получена как отношение площади части мишени, окрашенной в зелёный цвет, ко всей площади мишени, поскольку попадания в любые части мишени равновозможны.