Евклидово пространство

Определение. Линейное пространство R называется евклидовым, если имеется правило, которое позволяет для каждых двух векторов  построить действительное число, называемое скалярным произведением векторов  и  и обозначаемое ( , причём это правило удовлетворяет следующим условиям:

Если -скалярный квадрат.

Определение: Длиной вектора  в евклидовом пространстве называется квадратный корень из скалярного квадрата этого вектора, то есть .

Если  - любое действительное число, а  - любой вектор евклидова пространства, то .

Определение:  Вектор, длина которого равна 1, называется нормированным.

Если  - ненулевой вектор, то вектор  - нормированный вектор или орт вектора .

Для любых векторов  и  в евклидовом пространстве выполняется неравенство Коши-Буняковского:

Из неравенства Коши-Буняковского следует, что:

Угол , определяемый равенством  и принадлежащий , называется углом между векторами  и .

Если  и  - ненулевые векторы, а , то . В этом случае говорят, что векторы  и  ортогональны.

Для произвольных векторов  и  евклидова пространства имеют место следующие важные соотношения:

1.  - неравенство треугольника.

2. Пусть  - угол между векторами  и , тогда  (теорема косинусов).

Если , то .

 

Ортогональный базис

Определение: Базис  евклидова пространства называется ортогональным, если  при .

Справедлива следующая теорема: во всяком евклидовом пространстве имеется ортогональный базис.

Если ортогональный базис состоит из нормированных вектор, то этот базис называется ортонормированным. Для ортонормированного базиса  выполняются равенства: .

Любой вектор  евклидова пространства, заданный в ортонормированном базисе, определяется равенством:

.

Длина вектора  находится по формуле:

Если , , то

Два вектора  и  линейно зависимы (коллинеарны) тогда и только тогда, когда: .

Условие ортогональности векторов  и  имеет вид:

.

Угол между двумя векторами  и  находится по формуле:

.

Квадратичные формы

Определение: Квадратичной формой действительных переменных  называется многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий свободного члена и членов первой степени.

Если n=2, то квадратичная форма имеет вид:

.

Если количество переменных n=3, то:

В дальнейшем все необходимые формулировки и определения приведём к квадратичной форме 3-х переменных.

Матрица , у которой называется матрицей квадратичной формы f( ), а соответствующий определитель – определителем этой квадратичной формы. Так как А – симметрическая матрица ( ), то корни  характеристического уравнения:

являются действительными числами.

Пусть

нормированные собственные векторы, соответствующие характеристическим числам  в ортонормированном базисе . В свою очередь векторы  также образуют ортонормированный базис.

Матрица  является матрицей перехода от базиса  к базису .

Формулы выражения старых координат через новые при переходе к новому ортонормированному базису имеют вид:

.

Преобразовав с помощью этих формул квадратичную форму , получаем квадратичную форму = , не содержащую членов с произведениями .

Принято говорить, что квадратичная форма  приведена к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования В.

Пример:Привести к каноническому виду квадратичную форму

В этом примере a , , , характеристическое уравнение имеет вид: . , имеем . Получаем следующие характеристические числа .

Для определения координат собственных векторов получаем системы линейных уравнений:

1) для

. Если , где с - любое число, то . Поэтому характеристическому числу  соответствует семейство собственных векторов .

2) для

. Если , где  - любое число, то . Таким образом, характеристическому числу  соответствует семейство собственных векторов

Нормированные собственные векторы:

 

Матрица перехода к новому базису (матрица ортогонального преобразования) имеет вид:

Формулы преобразования координат:

 

Баранова Ирина Михайловна

 

 

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Конспект лекций для студентов всех направлений подготовки бакалавров

 

 

Подписано в печать                              Формат 60х84 1/6

Объем 2 печ. л.

Тираж     экз. Заказ №

ФГБОУ ВПО « Брянская государственная инженерно-технологическая академия»

Ред. – изд. отдел, тел. 64-95-62

Подразделение ОП