Понятие обратной матрицы

Напомним, что 2 числа называются обратными, если их произведение равно единице, и по аналогии введём понятие обратной матрицы А . Пусть А – квадратная матрица n-го порядка, Е – единичная матрица того же порядка.

Определение: Матрица А называется обратной матрице А, если

АА =А А=Е

Теорема: Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимым и достаточным является условие:

Определение: Квадратную матрицу А, определитель которой не равен нулю, будем называть невырожденной.

Обратная матрица определяется по формуле:

, где А  - алгебраические дополнения элементов в определителе . Алгебраические дополнения для строк матрицы А записываются столбцы матрицы.

Пример. Найти матрицу, обратную заданной.

Решение. Пусть дана матрица . Вычислим её определитель

. Cледовательно, А – невырожденная матрица, и обратная ей матрица существует. Вычисляем алгебраические дополнения матрицы  А:

,

Отсюда .

Ранг матрицы

Дана прямоугольная матрица А=

Выделим в этой матрице произвольных строк и произвольных столбцов ( ).

Определение: Определитель -го порядка, составленный из элементов матрицы , расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором -го порядка матрицы . Матрица  имеет миноров -го порядка .

Рассмотрим всевозможные миноры матрицы , отличные от нуля.

Определение: Рангом матрицы  называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля.

Замечание: Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг этой матрицы принимают равным нулю.

Определение: Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором матрицы. Ранг матрицы  будем обозначать r ( A ).

Определение: Если r ( A )= r ( B ), то матрицы А и В называются эквивалентными (А~ B ).

Ранг матрицы не изменится от элементарных преобразований, под которыми понимают:

1) замену строк столбцами, а столбцов – соответствующими строками;

2) перестановку строк матрицы;

3) вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю;

4) умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;

5) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки.

Пример. Определить ранг матрицы

К элементам первой строки прибавим соответствующие элементы третьей, затем разделим на 4 элементы первой строки.Из элементов первой строки вычтем соответствующие элементы второй строки, после чего вычеркнем первую строку:

~ ~ .

Ранг последней матрицы равен 2, так как, например, r(A)=2

ГЛАВА II СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Основные понятия

,                                                          (1)

где  - свободные члены;  - неизвестные;  - коэффициенты при неизвестных.

Определение: Решением системы (1) называется любой набор , которые при подстановке на место соответствующих неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное числовое равенство.

Классификация систем линейных уравнений

В зависимости от количества решений, которыми обладает система линейных уравнений, они классифицируются следующим образом.

Определение: Система (1) называется совместной, если она имеет, по крайней мере, одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместные системы могут иметь или единственное решение, или бесконечное множество решений.

Определение: Совместная система, имеющая единственное решение, называется определённой.

Определение: Совместная система, имеющая бесконечное множество решений, называется неопределённой.