Расчет электрических цепей методом эквивалентных преобразований

Преобразование называется эквивалентным, если напряжения и токи в остальной части схемы при этом не меняются.

1. Последовательное соединение – по второму закону Кирхгофа:

, ,  .

2. Параллельное соединение – по первому закону К.

, , .

3. Смешанное соединение

. Формула токового делителя: , .

4. Преобразование из «треугольника» в «звезду» и обратно.

соединение «звездой»	соединение «треугольником»

Формулы преобразований могут быть получены, используя законы Ома и Кирхгоффа:

; ; .

; ; .

Метод наложения

Для любых линейных систем справедлив принцип наложения (или иначе принцип суперпозиции), в соответствии с которым реакция от воздействия нескольких сил равна сумме реакций от каждого воздействия в отдельности.

Если рассмотреть принцип суперпозиции применительно к теории линейных электрических цепей, его можно перефразировать следующим образом:

Ток каждой ветви сложной цепи с несколькими источниками напряжения или тока равен алгебраической сумме токов этой ветви, протекающих под действием каждого источника в отдельности.

Если для узлов и контуров любой электрической цепи, содержащей источники напряжения с ЭДС  написать уравнения по законам Кирхгофа, получается система линейных уравнений, вида

, ,

из которой ток каждой ветви определяется однозначно.

Если поочередно предположить, что в цепи существует только ЭДС  а остальные равны нулю, затем – только ЭДС  и т. д., можно для каждой ЭДС вычислить соответствующие ей токи ветвей, составив уравнения по законам Кирхгофа при тех же направлениях ЭДС и токов:

, ,

, ,

и т.д.

Сложение почленно этих уравнений

,

,

даст систему, которая также имеет единственное решение для всех неизвестных ,  и т. д. Из сравнения исходных и только что полученных уравнений, имеющих одинаковые коэффициенты и правые части, видно, что решения обеих систем должны совпадать, следовательно,

, ,

т. е. ток каждой ветви цепи равен алгебраической сумме токов этой ветви, протекающих под действием каждой э. д. с. в отдельности.

На принципе наложения основан метод наложения. Он состоит в определении и последующем суммировании токов ветвей от каждой ЭДС в отдельности. При этом остальные ЭДС приравниваются нулю, т. е. нужно мысленно их удалить и представить замкнутыми накоротко каждую пару тех точек цепи, между которыми действуют эти ЭДС. Тогда от этих источников в цепи остаются только их внутренние сопротивления.          

Напряжение на каком-либо участке цепи с сопротивлением R:

,

т. е. напряжение на участке цепи ровно алгебраической сумме напря­жений для каждой составляющей тока. Следовательно, и при опре­делении напряжений может быть применен метод наложения.

Метод наложения целесообразно применять в том случае, если, приравнивая нулю все ЭДС, кроме одной, можно упро­стить цепь.

Например, для изображенной цепи при  или  получаются, соответственно, параллельно-последовательные цепи, легко рассчитываемые методом преобразования.

При этом действительное направление составляющих токов определяется направлением ЭДС и, выбирая произвольно направления резуль­тирующих токов, при наложении следует совпадающие с ними по знаку составляющие брать положительными, и наоборот. Так, для направлений токов, указанных на рисунке

,  и

Принцип наложения основан на линейном характере уравнений по законам Ома и Кирхгофа при постоянстве коэффициентов уравнений, т. е. сопротивлений цепи.

Если метод наложения применять в случае, когда источниками энергии являются источники тока и считать несуществующим источник в какой-либо ветви, т. е. принимать его внутренний ток J = 0, следует представить себе цепь этого тока разомкнутой;тогда от источника тока в цепи остается только его внутренняя проводи­мость G_B.

Необходимо отметить, что наложение неприменимо для мощностей, так как они являются квадратичными функциями токов и напряжений.

Принцип взаимности

Пусть в первую ветвь Т-образной схемы, состоящей из трех разных сопротивлений  соединенных звездой,вклю­чена ЭДС Е, а выходные зажимы замкнуты. Направление токов всех ветвей определяется направлением ЭДС E.

Ток  распределится между параллельно соединенными второй и третьей ветвями обратно пропорционально их сопротивлениям. Тогда ток во второй ветви

.

Если поменять местами индексы 1 и 2,очевидно, получится значение тока  в первой ветви при таком переносе ЭДС Е во вторую ветвь, чтобы ее направление совпало с направлением тока . Выражение  симметрично относительно этих индексов, поэтому .

Установленный принцип взаимности для Т-образной схемы имеет самый общий характер и может быть сформулирован следующим образом:

если ЭДС Е, действуя в любой ветви сколь угодно сложной цепи, не содер­жащей других ЭДС, вызывает в другой ветви ток I , то перенесенная в нее та же ЭДС вызовет в первой ветви такой же ток I .

Принцип взаимности был установлен Кирхгофом.

На принципе взаимности основан метод взаимности. Этот метод удобно применять для расчета цепей с одной ЭДС, когда ее перенос упрощает цепь.