ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ

С помощью принципа возможных перемещений решаются задачи статики, а принцип Даламбера позволяет методами статики решать задачи динамики. Если эти два принципа объединить, придем к общему уравнению динамики.

Для этого достаточно к уравнению принципа возможных перемещений добавить работу сил инерции на элементарном перемещении системы

               (1)

Уравнение (1) – общее уравнение динамики, оно выражает принцип Даламбера –Лагранжа: при движении механической системы с идеальными связями сумма элементарных работ активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении равна нулю.

В аналитической форме эта сумма рассчитывается по всем координатным осям:

        (2)

Задача 1.

На рис. показан центробежный регулятор, вращающийся с угловой скоростью ω. Вес шаров D₁ и D₂ равен р; вес муфты С₁С₂ – Q. Определить угол α, если OD₁ = OD₂ = l; OB₁ = OB₂ = B₁C₁ = B₂C₂ = b.

Решение.

К активным силам  добавляем . Сила инерции муфты равна нулю, так как ω постоянна. По формуле 2 запишем проекции всех элементарных работ на оси координат

                                  (3)

Силы инерции шаров

Выразим координаты, входящие в (3), через геометрические параметры, включающие угол α.

Дифференцируем эти выражения по углу α, получаем

Подставляем эти значения в формулу (1)

После сокращений и преобразований получаем

Чтобы знаменатель не был больше числителя, должно выполняться условие

Чем больше угловая скорость, тем больше угол α. При бесконечно большой ω угол α стремится к значению 90^о.

ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ

У механической системы с геометрическими связями (голономные системы) число независимых координат совпадает с числом степеней свободы.

У данной системы есть разные варианты выбора независимых координат в виде параметров:  длины, угла, площади и т.д.  Эти параметры, определяющие положение системы, называются обобщенными координатами и обозначаются   буквой q.

Если система имеет s степеней свободы, обобщенными координатами будут

Их элементарные приращения

.

Любую декартову координату можно выразить через обобщенные координаты

Например, у маятника с одной степенью свободы обобщенной координатой может быть угол ϕ, площадь σ или длина дуги s. Если принять ϕ, декартовы координаты х, у можно выразить через обобщенную координату ϕ:

Рис. 1

У двойного маятника две степени свободы, за обобщенные координаты можно выбрать углы ϕ и Ψ. Они независимы, так как угол ϕ не определяет величину угла Ψ.

Рис. 2

При движении системы обобщенные координаты изменяются во времени

                                                (1)

Уравнения (1) это кинематические уравнения движения системы в обобщенных координатах.

Обобщенные скорости системы:

( и т.д.). Скорости могут быть линейными, угловыми и т.д. в зависимости от обобщенной координаты.

От обобщенных координат любого вида можно перейти к декартовым координатам, получим зависимости вида:

                                      (2)

Радиус-вектор любой точки можно выразить через декартовы координаты:

                                                (3)

На основании формул (2,3) можно записать

                                   (4)

ОБОБЩЕННЫЕ СИЛЫ

Пусть на систему из n материальных точек действуют силы 

Пусть система имеет s степеней свободы (столько же обобщенных координат).

Дадим системе возможное перемещение за счет приращения δq₁ только одной координаты q₁. При этом радиус-вектор каждой точки получит какое-то свое приращение . Оно вычисляется как частный дифференциал:

                                                (5)

Элементарная работа всех действующих на систему сил составит

               (6)

Запишем уравнение (6) в виде

                (7)

где обозначено

              (8)

Величинe Q₁ называют обобщенной силой, соответствующей обобщенной координате q₁.

Если бы изменялась только координата q₂, мы бы получили элементарную работу δА₂ и т.д. Если одновременно изменяются все координаты получим полную элементарную работу всех действующих на систему сил в обобщенных координатах:

                      (9)

В этом выражении коэффициенты при приращениях обобщенных координат – обобщенные силы.

Порядок определения обобщенных сил:

1) устанавливаем число степеней свободы системы;

2) выбираем обобщенные координаты;

3) показываем на расчетной схеме все активные силы (реакции идеальных связей не показываем);

4) даем обобщенной координате q₁ положительное приращение δq₁;

5) вычисляем при этом перемещении сумму элементарных работ всех действующих сил;

6) записываем полученные результаты в виде (7), коэффициент при δq₁ и есть искомая обобщенная сила Q₁. Точно так же определяется обобщенная сила Q₂ в случае двух степеней свободы.

Если все действующие на систему силы являются потенциальными (сила тяжести и сила упругой деформации…), обобщенные силы можно определить через потенциальную энергию системы:

(10)

Следовательно, нужно составить уравнение потенциальной энергии системы и взять со знаком минус частную производную по соответствующей обобщенной координате.