ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ СИЛОВОЕ ПОЛЕ И СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ

Теорема об изменении кинетической энергии применяется, если работу сил можно подсчитать, не зная закона движения тела. Установим, какие силы обладают этим свойством.

Работа силы на перемещении точки М из положения М₁ в положение М₂:

     (1)

Сила F может зависеть от координат и времени, скорости и т.д.

Вычислить интеграл, не зная закон движения, можно, если сила постоянна, или зависит только от координат. Такие силы образуют силовое поле.

В общем случае нужно перейти к одной переменной путем замены, например,

.                     (2)                                                           

Формула (2) – это уравнение траектории точки М.

Следовательно, в общем случае работа в силовом поле будет зависеть от траектории.

Работу можно вычислить, не зная траектории, в том случае если элементарная работа

является полным дифференциалом некоторой функции .

Или:     ;                        (3)

Тогда по формуле (1)

                                         (3.1)

Функция U называется силовой функцией.

При наличии силовой функции силовое поле называется потенциальным силовым полем, силы, действующие в этом поле, – потенциальные силы.

Работа потенциальной силы равна разности значений силовой функции в конечной и начальной точках пути и от вида траектории точки не зависит.

Силовую функцию можно определить из уравнения

                                  (4)

Постоянную интегрирования С определяют с помощью «нулевой точки», в которой .

К потенциальным силам относятся силы тяжести, упругости и тяготения.

Определим силовые функции.

Поле силы тяжести. Пусть ось z направлена вверх. Известно, что при этом элементарная работа равна  . Примем, что нулевая точка находится в начале координат, т.е. U=0 при z = 0.

По формуле (4) находим:

При z = 0 величина С = 0, так как U=0, поэтому

U = – Pz                                                                           (5)

Поле силы упругости. Сила упругости равна сх. Тогда элементарная работа силы упругости dA = –cxdx. Примем, что при х = 0 U = 0. Тогда

                                                                              (6)

По силовой функции можно определить силу в любой точке поля.

Из формулы (3) имеем        

                                                                                                                                                (7)

Приравнивая коэффициенты при dx, dy, dz, получим

                                                     (9)

В потенциальном поле проекции силы на координатные оси равны частным производным от силовой функции по соответствующим координатам.

Из формул (9) можно получить

                                                  (10)

Из (10) следует

                              (11)

Уравнения (11) выражают необходимые и достаточные условия того, что силовое поле является потенциальным.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ  ЭНЕРГИИ

Понятие потенциальная энергия относится к потенциальному полю. Характеризует «запас работы» материальной точки в данном пункте поля по отношению к нулевой точке, в которой потенциальная энергия принимается равной нулю. П.Э. – скалярная величина, равная работе силы поля при перемещении точки из положения М в нулевое

Принимается, что нулевые точки П.Э. и силовой функции совпадают. Обе зависят от координат. Из формулы (3.1) следует . Поэтому

                                          (12)

Работа потенциальной силы равна разности значений потенциальной энергии движущейся точки в начальном и конечном положениях

Учитывая, что П = - U, потенциальную энергию полей силы тяжести и силы упругости можно вычислить по формулам (5, 6), поменяв знак на плюс.

Закон сохранения механической энергии.

Выразим работу потенциальных сил, действующих на систему, через разность потенциальной энергии в начальном и конечном положении

Эта работа равна изменению кинетической энергии

Отсюда получаем                                                                 (13)

При движении под действием потенциальных сил сумма кинетической и потенциальной энергий системы величина постоянная.

Система, для которой выполняется закон (13) называется консервативной системой.

При наличии силы сопротивления в правую часть уравнения (13) нужно ввести работу сил сопротивления со знаком минус. Следовательно, происходит убывание (диссипация) механической энергии. Такая система называется диссипативной, а силы, вызывающие диссипацию энергии диссипативными силами.