Уравнение прямой l задано как пересечение двух плоскостей

Получим каноническое уравнение прямой

Решение задачи №7

 Найдем две точки, лежащие на этой прямой. Для этого 2 любых решения системы

Придавая свободной переменной z два произвольных значения, пусть .

Пусть  подставим в систему уравнений

Вычтем из первого уравнения второе:

Получим , т.е. первая точка  имеет координаты .

Пусть  подставим в систему уравнений

Вычтем из первого уравнения второе:

Получим точки . За направляющий вектор прямой берем вектор .

То есть

Воспользуемся формулой ( )за точку  возьмем точку

Искомое каноническое уравнение имеет вид:

2) представим графически, что нужно найти, и что дано:

а) найти уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикуляр прямой l

Отметим на рисунке что имеем и что нужно, а именно: для уравнения плоскости проходящей через точку и перпендикуляр вектору (формула 4.2) необходимо знать координаты вектора N.

Прямая l , заданная в каноническом виде, это точка через которую проходит прямая и направляющий вектор параллельный данной прямой.

Обозначив все это на рисунке видно, что вектора  и  параллельны.

Следовательно, за вектор  можно взять вектор , т. е

Или

Или

б) Найти уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно прямой l .

Т.к. искомая прямая параллельна искомой прямой => за вектор новой прямой можно взять тот же вектор , а так же через который проходит прямая будущая точка А.

Воспользуемся формулой

 или

 

 

а) Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярно вектору .

.

Решение задачи №7а

 За нормальный вектор плоскости принимаем вектор

Уравнение плоскости, проходящей через точку А, с нормальным вектором  запишется в виде

или

Задача №8

За точку  возьмем точку

т.  ― т.

т.  ― т.

Найти расстояние точки  до плоскости, проходящей через три точки

.

Решение задачи №8

Напишем сначала уравнение плоскости , взяв за нормальный ее вектор, используя формулу

Уравнение плоскости  имеет вид

       

или 

2) Искомое расстояние можно найти по формуле (см. формулу 21.8)

.

Задача №9

Найти острый угол между прямыми:

 

Решение задачи №9

Угол между прямыми равен углу между направляющими векторами прямых .

, .

Ответ:

 

Задача №10

Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Решение задачи №10

Искомая точка лежит как на прямой, так и на плоскости. Запишем уравнение прямой в параметрическом виде:

Подставим выражения x, y, z в уравнение плоскости:

Раскрыв скобки, и приведя подобные, имеем:

  

Подставим значение t в параметрическое уравнение и получим координаты точки пересечения прямой и плоскости

Ответ: точка с координатами (10; 4; -3).

Задача №11

Найти точку, симметричную точке  относительно плоскости.

Решение задачи №11

Сначала найдем точку , являющуюся пересечением перпендикуляра, опущенного из точки  на данную плоскость. Для этого напишем уравнение перпендикуляра

или в параметрической форме , .

Подставим эти выражения в уравнение плоскости, чтобы найти параметр t, соответствующий точке .

Получим:

,

Подставим  в параметрическое уравнение перпендикуляра и получим, точка .

  

Искомая точка   делит отрезок  в отношении  

Подставим

Ответ:  (-3; 1; -2)

 

 

 

 

Используемая литература