Уравнение точки имеет следующий вид

                                    

Гипербола (A C < 0, A ≠ C)

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) есть постоянная величина 2а, причем 2а < 2 c, где 2с – расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, имеет вид

6.4

где b² = c² – a².

Параметр а называется вещественной полуосью гиперболы и представляет собой расстояние от начала координат до вершины гиперболы, параметр b называется мнимой полуосью.

Эксцентриситетом гиперболы называется величина

Расстояния текущей точки М (х,у) гиперболы до фокусов (фокальные радиусы) определяются по формулам

                            r ₁ = r ₂ =

Прямые, заданные уравнениями y =    , являются асимптотами гиперболы.

Гиперболаможет иметь другой вид, также симметричный относительно осей координат, имеет вид

где b ² = c ² – a ².

Параметр а называется вещественной полуосью гиперболы и представляет собой расстояние от начала координат до вершины гиперболы, параметр b называется мнимой полуосью.

2 прямые образуются в случае

Парабола (A C = 0)

Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Каноническое уравнение параболы, проходящей через начало координат и симметричной относительно оси Ох, имеет вид

6.5                                          y 2 = 2 px

Уравнение вида

6.6                                      x 2 = 2 py

описывает параболу, симметричную относительно оси Оу.

Фокальный радиус точки М(х,у), т.е. ее расстояние до фокуса на оси Ох, находится по формуле

r = x +

 

Парабола, ось которой параллельна оси Оу, описывается уравнением y = ax ² + bx + c .

Простая парабола относительно оси Оу

Смещенная парабола относительно оси Оу

 

 

 

Простая парабола относительно оси О x

Смещенная парабола относительно оси О x

 

                                                                                                                    

Решение задач контрольной работы №2

Задача №1.

Даны координаты вершин треугольника АВС, A( ), B( ), C( ). Найти:

а) длину стороны АВ;

б) уравнение высоты, проведенной через вершину С;

в) уравнение медианы, проведенной через вершину С;

г) точку пересечения высот треугольника;

д) внутренний угол А в радианах;

е) длину высоты, опущенной из вершины В.

Решение задачи №1 а.

По условию задачи вершина треугольника имеют координаты A (0,-5), B (5,1), C (2,-2). Отметим данные точки на системе координат и нарисуем сторону АВ треугольника ABC.

(Смотри формулу 1.1)

Координаты вектора AB составят

Найдем длину этого вектора (Смотри формулу 1.3)

Длина вектора АВ это то же самое, что и длина стороны АВ

Ответ: длина стороны АВ равна

 

Решение задачи №1 б.

Найдем уравнение высоты, проведенной через вершину С;

Уравнение высоты это уравнение прямой перпендикулярной стороне АВ.

Следовательно, во-первых, необходимо найти уравнение стороны АВ

1)Таким образом, найдем уравнение стороны АВ.

Для этого есть две точки А и В.

 Найдем уравнение стороны AB, как уравнение прямой проходящей через 2 точки A и B.

(Смотри формулу 2.3)

За первую точку возьмем точку А, за вторую точку  возьмем точку В.

                              

, т.е.   x - 9y + 4 = 0

2) Прямая СD перпендикулярна прямой АВ т. к прямая АВ задана каноническим уравнением:  (Смотри формулу 2.4.),

Т.е. , Вектор(9:1) параллельны прямой AB.

 

Этот вектор q параллелен прямой AB и перпендикулярно прямой CD ,следовательно этот вектор можно принять за вектор перпендикулярный прямой CD, то есть нормальный вектор.

Таким образом для прямой CD есть т.С(2;-2) и вектор N=q=(9;1)

По формуле:

Подставляем наши значения, получаем уравнение прямой CD

Упростив, получим

 

 

Ответ:  

Найдем уравнение медианы, проведенной через вершину С.

1)Найдем точку О, как середину отрезка АВ по формуле: (Смотри формулу 1.4)

'            

Так как А (-4;0), В (5;1)

Подставляем точки А (-4;0), В (5;1) в формулу 1.4 , получим:

 

 

2)Найдем уравнение медианы (прямой OC), как уравнение прямой проходящей через две точки О и С.

Уравнение медианы СО найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.(Смотри формулу 2.4.) Медиана СО проходит через точки С(2;-2) и O (0,5;0,5), поэтому:

Ответ:

 

Решение задачи №1 г.

 Найти точку пересечения высот треугольника

1) Уравнение высоты CD найдено  (задание №1б)

Имеем:

2)Аналогично получим уравнение высоты опущенной из т. В

Уравнение высоты BM - это уравнение прямой перпендикулярной стороне АC.

Таким образом, для начала найдем уравнение стороны для этого есть две точки А и С. (Смотри формулу 2.3.)

 

За первую точку возьмем точку А, за вторую возьмем точку С.

или

Прямая ВМ перпендикулярна полученной стороне АС, следовательно, вектор нормали прямой АС (1;3), (коэффициенты при x  и y) параллелен искомой прямой - высоте ВМ.

 

3)Найдем точку пересечения высоты т.К.

Сложив два уравнения, получим

Подставив во второе уравнение x=2,5,  получим  7,5-у-14=0

У=-6,5

Ответ: К(2,5;-6,5)

 

Решение задачи №1 д.

Найти внутренний угол A в радианах.

Для нахождения угла А в радианах, в начале найдем .

 равен угла между векторами АВ и ВС. Вектор АВ

Найдем в задании №1а

Найдем вектор. (Смотри формулу 1.1)

  

Найдем длину этого вектора

(Смотри формулу1.2 )

Угол между векторами находится (Смотри формулу1.6)

Ответ: А = 0,43 рад.

Решение задачи №1 е.

Длину высоты, опущенной из вершины В

Длина высоты ВМ находится, как расстояние из т.В до прямой АС

Уравнение прямой АС найдено в пункте 1г: x+3y+4=0

Найдем BM (Смотри формулу2.8), где за точку M₀ принимаем точку B.

Ответ: BM =

Задача №2.

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить эту кривую.

Исходные данные

Скомпонуем x и y

Вынесем коэффициенты х за скобки:

Приведем подобные члены:

Разделим на 144

 

Ответ.

Задача №3.

Найти координаты вектора , перпендикулярного векторам  и , если:

 

Задача №4.

Известно, что угол между векторами  и  равен . Найти косинус угла между векторами  и .

Задача №5.

Даны координаты вершин пирамиды .

Найти:

1) длину ребер , , ;

2) угол между ребрами  и ;

3) площадь грани ;

4) проекцию вектора  на вектор ;

5) объем пирамиды.

Решение задачи №5.1

Даны точки А₁ (-1;0;2)  А₂ (3;2;5)  А₃ (7;0;-1)  А₄(-4;1;2)

Найти длину ребра А₁ А₂, А₁А₃, А₁ А₄ (Смотри формулу 3.3)

Найдем векторы А₁ А₂, А₁ А₃, А₁ А₄ (Смотри формулу 3.1, 3.3)

Решение задачи №5.2

Найти угол между ребрами А₁ А₂ и А₁ А₄

Угол между ребрами есть угол между векторами А₁ А₂ и А₁ А₄, координаты которых найдены в решении задания 5.1.

(Смотри формулу 3.6)

 

Решение задачи №5.3

Найдем площадь грани А₁ А₂ А₃

Решение задачи №5.4

Проекция вектора А₁ А₃ на вектор А₁ А₄ воспроизводится по формуле (3.7)  

Роль вектора А играет вектор А₁ А₃,а вектора В играет вектор А₁ А₄  

Решение задачи №5.5

Объем пирамиды вычисляется по формуле (Смотри формулу 3.9)

Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках  и его высоту, опущенную  из вершины  на грань .

Решение. Найдем векторы:

Объем тетраэдра равен одной шестой от объема V параллелепипеда, построенного на векторах .

отсюда V тетраэдра = 6 (куб. ед.).

Найдем теперь площадь S грани .

.

Найдем вектор производственных векторов  и  

Найдем длину полученного вектора:

,

отсюда  (кв.ед.), а , т.к. HS есть объем треугольной призмы, равной половине объема V, т.е. 18.

Задача №6

Задача №7