ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

 

Задача 198. Доказать, что .

Решение. По определению,  =  =  =

 =  = .

Ответ. .

 

Задача 199. С помощью определения доказать, что .

Решение.  =  =

 =

воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени  :

=

=  =

=  = .

Ответ. .

Задача 200. Вычислить производную от композиций:

А) . Б)

Решение. А)  =  = .

Б)  =  = .

Ответы.  ; .

      

Задача 201. Найти производную от .

Решение. Здесь композиция трёх функций. Сначала действует степенная и переводит  в , затем вычисляется косинус, а от этого выражения зависит логарифм.

   =  =  = , что можно записать в виде . 

Ответ. .

Задача 202. Найти производную функции .

Решение. Способ 1. Можно рассматривать как композицию, тогда:

 =  =  =  = .

Способ 2. Можно рассматривать сразу как степенную функцию с дробной степенью, тогда решение такое:      = . 

Как мы видим, двумя способами получаем одно и то же.

Ответ. .

Задача 203. Найти 1 и 2 производную от .  

Решение.  =  =

 = , что можно записать в виде . 

Вторая производная:  =  = .

Ответ. .

 

Задача 204. Найти производную от . 

Решение. Здесь нельзя применять формулу степенной функции, ведь в показателе тоже есть переменная. Но нельзя и формулу показательной функции, т.к. в основании тоже есть переменная. Единственным выходом здесь является логарифмирование, чтобы  соатлось только в степени. Основание может быть представлено в виде . Тогда  =  = .

 =  =  =

 а теперь можем заменить обратно  на .

После приведения подобных, получим .

Ответ. .

 

Задача 205. Найти производную вектор-функции .

Решение. Производные двух координатных функций ищем независимо друг от друга.

 = . Ответ. .

 

Задача 206. Найти 1-ю и 2-ю производную для . Найти .

Решение.  =  = 

 =   =

=  =

 =  =  =  =

. Итак, .

Следующая, 2-я производная: 

 =  =  =

 = . 

Вычислим «тестовое» значение при конкретном .

 =  =  =  = 2.

Ответ. , , =2.

 

 

Задача домашняя. Найти 1-ю и 2-ю производную для . 

Решение.  =  =

 =  = .

2-я производная:  =

=  =

=  ,

сократим на :  =

=  =

=  = .

Ответ.

Задача 207.  Найти производную от .

Решение. Здесь произведение, причём в одном из множителей есть композиция.

 =  =

=  = .

Ответ. .

Задача 208. Найти 2-ю производную для .

Решение. 1-я производная:  =  =

 = .

2-я производная:  =

=  =

=  =

=  =

= .

Ответ. .

 

Задача 209. Вывести формулу .

Решение. Объединим первые 2 слагаемых в один условный множитель, а третье пусть будет вторым множителем. После этого применим известную формулу, доказанную для 2 множителей.

 = , что и приводит к

выражению .

 

Задача 210. Найти 1-ю и 2-ю производную  и .

Решение.  = .

 =  =

 =  =

 = . . 

Ответ. , , .

Задача 211. Дана функция .

Найти , .

Решение.  =  =

 =  =  =

= = .

Максимально возможно привели подобные, чтобы затем было легче считать 2-ю производную.

 =  =  =

=  = .

Вычислим .  =  =  = 48.

Ответ. . .

 

Задача 212.  найти , . 

Решение. ,  =  = .

 =  =  =

 = . 

 = .    = .

Ответ. , .

Задача 213.1. Нарисовать график , если функция  задана графически:

Решение. Здесь мы можем рассуждать следующим образом. Запишем функцию на каждом из участков:

Тогда можно найти производную на каждом участке отдельно:

Тогда график производной выглядит так:

 

Задача 213.2. Нарисовать график , если функция  задана графически:

Здесь видно, что угловой коэффициент равен 0,5 при , на остальной части вещественной оси функция есть константа. Тогда график производной выглядит так (показано зелёным цветом). 

  

 

Мы видим, что в тех точках, где на исходном графике угол, производная имеет разрыв 1-го рода.

 

 

Возможны и другие варианты таких задач. 

Задача 213.3.  

Задача 213.4. Если .

Задача 213.5.  

 

 

«Частные производные, градиент».

Задача 214. Дана функция . Найти координаты вектора   в точке .

Решение. Найдём две частных производных.

 = ,  = .

Градиент в произвольной точке: .

Кстати, для получившегося векторного поля функция   называется потенциалом.

Градиент в точке : .

Ответ. .

Задача 215. Дана функция . Найти   в точке .

Решение.

 = ,  = ,  = .

Градиент в произвольной точке: .

Градиент в точке : .

Ответ. .

Задача 216. Найти градиент функции  в точке (1,1,1).

Решение. Найдём частные производные. , , . Присвоим все значения x,y,z=1. Получаем .

Ответ. .

Задача 217. (На применение формулы полной производной).

Дано: . Точка движется по прямой:

. Вычислить :

1)  без формулы полной производной.

2) с помощью формулы полной производной.

Решение.

1 способ. Сведём к функции от  и вычислим для неё обычную производную.

 = = =

,  =  = .

2 способ. По формуле полной производной:  =  =

=  а теперь уже в этом выражении выразим  через :  = =

 = .

Ответ. .

Алгоритм вычисления производной по направлению можно условно разделить на 4 шага: 

1) Найти градиент в произвольной точке,

2) Найти градиент в конкретной точке,

3) Нормировать вектор, задающий направление,

4) Скалярно умножить градиент в точке на этот нормированный вектор.

Замечание. Шаги 3 и 4 перестановочны, то есть можно не нормировать вектор, а разделить на его длину получившееся скалярное произведение .

 

Задача 218. Дана функция . Найти: 

а) координаты вектора   в точке ,

б)  в точке  в направлении вектора .   

Решение. Найдём все 3 частных производных.

 = .

 = .

 = .

1) Градиент в произвольной точке: . 

2) Градиент в точке : . 

3) Нормируем вектор . Его длина .

Нормированный вектор .

4) Скалярно умножим его на градиент в точке, т.е. .

 =  =  = . 

Ответ.  = , = 4.

Задача 219. Дана функция . Найти: 

а) координаты вектора   в точке ;

б)  в точке  в направлении вектора .   

Решение. Ищем частные производные.

 = ,  = .

Итак, градиент . При  получаем вектор . Нормируем вектор . Его длина . Новый вектор

. Скалярно умножаем его на : 

.     

Ответ. ,  = 0.

Задача 220. Найти градиент функции  в точке (1,1) и производную по направлению (1,3).

Решение. , .

Градиент в произвольной точке:

Градиент в конкретной точке:

Нормируем вектор (1,3). .

Скалярно умножим  и . .

Ответ. , = .

Задача 221. Дана функция . Найти: 

а) координаты вектора  в точке  

б)  в точке  в направлении вектора .  

Решение. Частные производные: 

 =  = . Аналогично

= , = .

Присвоим конкретные значения  и получим градиент в точке.

Учитывая, что ,получится: 

.

Нормируем вектор . Его длина .

Итак, надо рассматривать такой вектор: .

Теперь скалярно умножим его на градиент.

 =  = .

Ответ. , = .

Задача 222. Найти градиент функции   в точке  и производную по направлению .

Решение.

1) Вычисляем частные производные: . 

2) .

3) Скалярно умножаем  на , получим 4.

4) Разделим на , получим .

Ответ. , .

* Задача домашняя. Найти градиент функции  в точке (2,2) и производную по направлению a = (3,4).

Решение. , . 

Градиент в произвольной точке: .

Градиент в точке (2,2) равен .

Нормируя вектор (3,4) получаем .

Скалярно умножаем  и .  = = 81,6.

Ответ. Градиент ,  = 81,6.

Задача 223. Найти градиент функции  в точке (1,2,3) и производную по направлению a = (1,0,1). 

Решение.

1. .

2.

3. Нормируем вектор a = (1,0,1). Его модуль . Тогда нормированный вектор: .

4. Скалярно умножим  на .

Получим  =  = .

Ответ. .

«Уравнение касательной».

Вспомнить уравнение: .

Задача 224.  Найти касательную к графику  в точке .

Решение. , , . Уравнение , то есть .

Ответ. .

 

Задача 225. Найти уравнение касательной к кривой  в точке . 

Решение. Значение в точке: . 

Производная: .

Производная в точке: . 

Уравнение  принимает вид ,

что преобразуется к виду .

Ответ. .

Задача 226. Найти касательную к графику  в точке .  

Решение. , , .

.

Ответ. Уравнение касательной .

Задача 227. Найти касательную к графику  в точке с абсциссой 2 и расстояние от этой прямой до начала координат.   

Решение. , , .

Подставим эту информацию в уравнение .

Получается .

Надо применить формулу расстояния от точки до прямой в плоскости:

для этого сначала преобразуем к неявному виду: .

Тогда видно, что . .

 =  = .

Ответ. Касательная , расстояние .

 

Задача 228. Найти касательную к графику функции  в точке .

Решение. .

. .

.

Ответ. Уравнение касательной .

Задача 229.   Найти уравнение касательной к графику  в точке  и площадь треугольника, который она отсекает от одной из координатных четвертей.

Решение. , , .

.

Выясним, треугольник и в какой четверти она отсекает. Для этого найдём точки пересечения с координатными осями.

, . Точки  и . Треугольник в 4-й четверти. Схематично покажем, где и как он расположен:

Его площадь это 0,5 от площади достроенного прямоугольника, а она была бы равна . Поэтому ответ .

Ответ. Касательная , площадь треугольника . 

Задача 230. На графике функции  взята точка . Касательная к графику в точке  наклонена к оси