Задачи со следствиями из 1 и 2 зам. пределов.

Введение в математический анализ.

Множества и функции.

Задача 143. Доказать нечётность функции .

Решение. Заменим  на , при этом  наоборот, заменится на .

 =  = .

Таким образом, , то есть функция нечётная.

Задача 144.  Даны 2 функции: , . Найти все их возможные композиции.

Решение.  так как  то повторное вычисление синуса ещё чуть уменьшает значение этой величины, поэтому график суть ниже обычного графика синуса.

Графики для сравнения:

 

, здесь скорость возрастания с ростом    всё более увеличивается, то есть колебания синуса учащаются. График:

,график: 

  

 строение этой функции хорошо известно.

На чертеже зелёным показан график , синим .

Задача 145.  Найти композицию  если . 

Решение. Двойная композиция это ,

а тройная композиция . Можно сначала привести подобные внутри самой внутренней дроби, для чего 1 представим как .

 =  =  =  

И в этой дроби тоже приведём подобные таким же способом.

 =  =  =  = .

Ответ. .

Задача 146.  Точка движется по окружности единичного радиуса вокруг начала координат в плоскости. Температура распределена по закону: . Найти для этой точки функцию, как меняется температура в зависимости от времени.

Решение. Движение точки можно задать так: , .

Подставим эти выражения в , чтобы получить композицию функций.  = .

Ответ. .

 

Задача 147.  Найти область определения функции: .

Решение. Выражение под каждым из корней должно быть , а для второго даже строго больше 0, так как он в знаменателе.

Получается система из 2 неравенств:  и .

,  . 

Итого, пересечение этих множеств: .

Ответ. .

 

Задача 148.  Найти область определения функции:

.

Решение. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны

это область вне круга радиуса 1.

 это область внутри круга радиуса 3. 

В их пересечении лежит кольцо .

Чертёж:

Ответ. Кольцо .

Задача 149.  Найти область определения функции 3 переменных: 

.

Решение. Здесь , т.е. . Это неравенство задаёт шар радиуса 1. Штриховкой в плоскости, как в прошлой задаче, для функции трёх переменных изобразить уже невозможно.

Ответ. Шар радиуса 1: .

 

«Предел последовательности»

Задача 150. Найти предел . 

Решение. Здесь неопределённость типа . Вынесем за скобки  и в числителе, и в знаменателе, с целью сократить на этот множитель.

 =  =

Каждая из мелких дробей в числителе и знаменателе стремится к 0,

поэтому получается сумма пределов в каждом случае, и тогда

 = . Ответ. .

Задача 151.  Найти предел .   

Решение. Здесь неопределённость типа . Вынесем за скобки и сократим самую старшую степень элемента , в прошлой задаче это была 2-я степень, а здесь 3-я.

 =  =  = . Ответ. .

 

Задача 152.  Найти предел .

Решение. Есть 2 способа. Можно сократить на :

 =  = .

А можно сократить на :

 =  = .

Замечание. Если наоборот, в знаменателе была бы степень больше, чем в числителе, то ответ не 0 а .

Ответ. 0.

Задача 153. Найти предел .

Решение. Здесь неопределённость типа . Будет ошибочно думать, что . Так, например, если от нас удаляются 2 объекта со скоростями  и , то не только расстояние от нас до каждого объекта, но и расстояние между ними увеличивается к .

Чтобы свести к дроби, и сокращать как в прошлых примерах, надо сначала домножить на «сопряжённое» выражение, то есть такое где вместо разности сумма, это позволит использовать формулу сокращённого умножения .

 =  =

 = .

Теперь можно сократить на первую степень : 

 =  =  =  =  =  = 3. Ответ. 3.

Задача 154. Найти предел .

Решение. Здеь домножение и не требуется, а можно сразу сократить на .

 =  =  = .      Ответ. 1.

 

Задача 155. Найти предел .

Решение. Можем сразу сократить на . В числителе при этом можно представить  в виде .

 =  =  =

 = 2.    Ответ. 2.

Предел функции.

Задача 156. Найти предел .  

Решение. Так как переменная неграниченно возрастает, то тоже влияют её старшие степени и коэффициенты перед ними.

Сократим дробь:  =  =  =  = .

Ответ. .

Задача 157.  Найти предел . 

Решение. Аналогично тому, как в прошлом примере, сократим на старшую степень, здесь это .

 =  = =  = .  

Ответ. .

Задача 158. Найти предел  . 

Решение. В этом примере надо домножить и поделить на «сопряжённое» то есть на сумму, чтобы использовать формулу .

 =  =  теперь сократим на :

В знаменателе можно представить  в виде , чтобы упростить выражение в знаменателе: 

 =  =  =  = . Ответ. .

Задача 159 (А,Б). Найти пределы ,  .

Решение. А).    =  = здесь числитель равен 1, знаменатель неограниченно возрастает, поэтому получается выражение типа , предел равен 0.

Б). Заметим, что , то есть указанная сумма, фактически, есть разность. Домножаем на сопряжённое выражение, которое формально будет разностью, а на самом деле - суммой:

 =  =

 =  . Здесь в знаменателе разность, но 2-я величина отрицательна, то есть фактически - сумма бесконечно-больших. Тогда получается, что дробь - величина, обратная к бесконечно-большой, т.е. бесконечно-малая. .

Ответ. 0. (в обоих пунктах).

 

 

Замечание. Как мы видим, методы решения примеров для последовательности ( ) и для функции при  во многом очень похожи. В одном случае дискретно увеличивается к бесконечности, а в другом непрерывно, но всё равно и там, и здесь неограниченное возрастание.

 

Задача 160(А,Б).Найти пределы , .

Решение. Сейчас на этом примере мы увидим, как может отличаться ответ в зависимости от  или . И в том, и в другом случае мы стараемся сократить дробь на множитель .

Если  положительно, то  можно представить в виде .

 =  =  =  = .

А вот если  отрицательно, то надо учесть, что  это , оно положительно, то есть при  верно . Поэтому

 =  =  = .

Ответы. 4 и .   

 

Примеры, в которых .

Задача 161. Найти предел . 

Решение. В этом случае  стремится к числу, а не бесконечности. Получается неопределённость совсем другого типа: если в прошлых примерах было  или , то здесь . Если просто подставить 1 в это выражение, получилось бы . Поэтому и нельзя просто подставить и вычислить значение, а нужно раскрывать неопределённость. Выделим множитель  и в числителе, и в знаменателе, чтобы его сократить.

 =  =  = 2.

Когда сократили, тогда уже можно просто подставить .

Ответ. 2.

Задача 162. Найти предел .

Решение. Найдём корни многочленов в числителе и знаменателе, и разложим на множители.  =

=  = . Сократили тот множитель, который отвечает за стремление к нулю, в числителе и знаменателе.

Ответ. .

Задача 163. Найти предел .

Решение. Разложим на множители, как и в прошлой задаче.

 =  =  = .

Нашли корни числителя и знаменателя, разложили на множители. Сократили тот множитель, который отвечает за стремление к нулю, в числителе и знаменателе.

Ответ. .

 

(!) Обратите внимание, что в случае, когда в числителе таких множителей (стремящихся к 0) больше, чем в знаменателе, то происходит неполное сокращение, и в числителе остаётся одна из скобок, стремящихся к 0, то есть предел получается 0. Это будет видно на следующем примере.

Задача 164.  Найти предел .

Решение. =  =  = . В числителе остался один не сокращённый множитель , остальные стремятся к константам, но уже не важно к каким, всё равно получится 0 из-за нуля в числителе.

Ответ. 0.

Замечание. Наоборот, если бы такой множитель остался в знаменателе, то предел был бы равен .  = .

Задача 165. Найти предел .

Решение. Во-первых, если просто подставить , видно неопределённость . Это означает, что  является корнем, т.е. по крайней мере, хотя бы один множитель вида  и в числителе, и в знаменателе найдётся. Это облегчает поиск корней, можно обойтись даже без дискриминанта, а просто найти второй дополняющий. Когда мы сократим все , можно будет просто подставить  в оставшееся выражение.

 =  =  =  =  = .

Ответ. .

Задача 166.  Найти предел .

Решение. Способ 1. Тот факт, что при подстановке  и в числителе, и в знаменателе даёт значение 0, говорит о том, что множитель  присутствует хотя бы один раз. Поэтому найти корни можно даже без дискриминанта.

 =  =  = = = .

Способ 2. (Лопиталя).

 =  =  =  = = .

Ответ. .

Задача 167. Найти предел .    

Решение. Способ 1.

 =   =  =  = .

Способ 2.  =  =  =  = .   Ответ. .

 

Задача 168. Найти предел .

Решение.  Воспользуемся формулой разности кубов: 

.

 =  =  = 27.

Впрочем, можно сделать и методом Лопиталя:  

 =  =  = 27.

Ответ. 27.

 

Задача 169. Найти предел . 

Решение.  =  =  =  =  = 2.

Замечание. Этот пример, как и многие из рассматриваемых, можно тоже для проверки решить вторым способом (Лопиталя).

Ответ. 2.

 

Задача 170.  Найти предел .

Решение. По методу Лопиталя пришлось бы дифференцировать 2 раза, из-за наличия корня кратности 2. 

 = .

Здесь опять получается неопределённость , поэтому дальше:

 =  =  =  = .

Ответ. .  

Для сведения, 2-й способ, с разложением на множители, но он здесь длиннее. Мы точно знаем, что присутствует множитель  ведь неопределённость . Это облегчает поиск корней многочленов 3-й степени: мы можем сначала поделить на  и останутся многочлены 2-й степени, корни которых уже можно найти через дискриминант.

Итак,  =

Однако находя корни через дискриминант, обнаруживаем, что ещё раз выделяется множитель .

В числителе , корни , т.е.  и 1.

В знаменателе , корни , т.е.  и 9.

Получается . Значит, просто эту скобку надо сократить 2 раза, но всё равно она ведь полностью сокращается.

Получим  =  =  = .

 

Задача 171А,Б.  Найти  и .

Решение. Сразу вынесем за скобку общий множитель и в числителе, и в знаменателе, там все остальные коэффициенты ему кратны. Затем разложим на множители.

 =  =  =

 =  = .   

 

А при   другой тип неопределённости, и применяется совершенно другой метод решения, несмотря на то, что функция та же самая.

 =   =  = .

Ответы.  и .

Замечание. Оба этих предела можно было найти по правилу Лопиталя.

 =  =  = .

 = =  = .

 

Задача 172. Найти предел .

Решение. Домножим и разделим на сопряжённое к каждой разности.

При этом соединим дугой те, которые в итоге сворачиваются в разность квадратов. Прочие множители, которые ни с чем не объединяются, вынесем в отдельную дробь, и даже в отдельный предел. Получается произведение пределов:  

 

В одном из них нет неопределённости, а во втором преобразуем так, чтобы сократить скобку .

=  =  =  = .

Ответ. .   

Задача 173. Найти предел . 

Решение. В этом случае можно с помощью замены преобразовать так, что будут только целые степени, а для получившихся многочленов уже можно искать корни и проводить разложение на множители.

НОК(2,3) = 6. Если обозначим , то:

,   .

При этом, если , то и  тоже стремится к 1.

* Такое совпадение при замене переменной бывает далеко не всегда, а лишь в частных случаях, а обычно надо пересчитать, возможно новая переменная стремится к другому числу. Например, если  и , то .

Итак,  =  =  (для удобства сделали, чтобы многочлены начинались со старшей степени). Далее, 

 =   =  = . 

При этом даже нет необходимости делать обратную замену и возвращаться к старой переменной.

Ответ. .   

 

 «1-й замечательный предел».

Задача 174. Найти предел .  

Решение. С помощью преобразований получим в знаменателе такое же выражение, как под знаком синуса в числителе.

 =  =  =  = .

Второй предел вообще не содержит неопределённости, а первый это в точности  если переобозначить .

Ответ. . 

Задача 175. Найти предел .

Решение.  =  =  = 5.

Ответ. 5. 

 

Задача 176. Найти предел .

Решение.  =   =

 =  =

 = 24.

Сначала домножили на сопряжённое выражение, потом вынесли в отдельный множитель ту часть, где нет неопределённости. В конце домножили на 6 в знаменателе и числителе, чтобы в знаменателе образовалось ровно такое же выражение, как под знаком синуса, то есть .    

Ответ. 24.

Задача 177. Найти предел .

Решение.  Эту задачу можно решить как с применением тригонометрической формулы, так и методом Лопиталя.

Способ 1. Вспомним формулу . Получается

 =  =  = 2.

Способ 2.  =  =  = 2.

Ответ. 2. 

 

 

Задача 178. Найти предел .

Решение. Чтобы устранить разность, как всегда, домножим и поделим на сопряжённое.

 =  =

 =  =

 = .

 это мы применили формулу понижения степени, а ту часть, которая стремится к 0, вычислили сразу, этот коэффициент теперь так и будет оставаться до ответа. Теперь заменим каждую из бесконечно-малых на эквивалентную. 

 =