Теоретическое обоснование метода

I . Введение

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, – что следуя этому методу, мы достигнем цели.

Лейбниц

Одним из методов решения неравенств является метод рационализации. Этот метод известен уже около 50 лет. В разных источниках его называют по разному: метод декомпозиции, метод замены множителей, обобщенный метод интервалов.

Решение нестандартных неравенств сопряжено со многими техническими сложностями, что чревато как логическими, так и вычислительными ошибками. Применение стандартных способов решения неравенств часто бывает затруднительным или невозможным. Метод рационализации позволяет избежать многих нежелательных осложнений и ускорить процесс решения неравенств.

II. Решение неравенств методом рационализации.

Теоретическое обоснование метода

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F( x) на более простое выражение G( x)(в конечном счете, рациональное), при котором неравенство G( x) 0 равносильно неравенству F( x) 0 в области определения выражения F( x)(символ  заменяет один из знаков >, <, ).

Выделим некоторые типовые выражения F и соответствующие им рационализующие выражения G, где f, g, h, p, q- выражения с переменной х (h> 0;h≠ 1; f> 0, g> 0), a - фиксированное число (a> 0, a≠ 1).

Замена некоторых типовых выражений

№	ВыражениеF	ВыражениеG
1
1а
1б
2
2а
2б
3
4
4а
5
6

Некоторые следствия (с учетом области определения неравенства):

1.

2.

3.

4.

В указанных равносильных переходах символ  заменяет один из знаков >, <, .

Докажем справедливость замен 1- 6, представленных в таблице.

Доказательство.

1. Пусть , то есть , причёмa > 0, a ≠ 1, f > 0, g > 0.

      Если 0 < a <1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем f < g . Значит, выполняется система неравенств

откуда следует неравенство ,верное на области определения выраженияF = .

       Если a > 1, то f > g . Следовательно, имеет место неравенство .

       Обратно, если выполняется неравенство на области допустимых значений ( a > 0, a ≠ 1, f > 0, g > 0), то оно на этой области равносильно совокупности двух систем неравенств

и

Из каждой системы следует неравенство , то есть .

Аналогично, рассматриваются неравенства вида F < 0, F ≤ 0, F ≥ 0.

2. Пусть некоторое число а > 0 и а ≠ 1, тогда имеем:

=

Знак последнего выражения совпадает со знаком выражения

или .

3. Так как = ,

то, используя замены 2а и 2б из таблицы, получаем, что знак последнего выражения совпадает со знаком выражения , или .

4. Из неравенства следует . Пусть число а > 1, тогда ,или .

Отсюда с учётом замены 1б и условия a > 1 получаем

Аналогично доказываются неравенства F< 0, F ≤ 0, F ≥ 0.

5. Доказательство проводится аналогично доказательству 4.

6. Доказательство замены 6следует из равносильности неравенств | p | > | q | и p ² > q ²

( | p | < | q | и p ² < q ² ).