Главный вектор и главный момент. Теорема Пуансо

Теорема Пуансо. Любая произвольная система сил, приложенных к твердому телу, эквивалентна системе, состоящей из одной силы, приложенной в какой-либо точке О тела и одной пары.

Такой процесс замены системы сил одной силой и парой сил называют приведением системы сил к заданному центру.

Пусть дана произвольная система сил  (рис.5.7а), приложенных к твердому телу. Выберем произвольную точку О тела за центр приведения и каждую силу заданной системы сил приведем к точке О (рис.5.7б).

Таким образом, система из n сил заменена системой сходящихся сил, приложенных в точке О, и системой присоединенных пар сил. Векторные моменты присоединенных пар сил можно заменить одной парой согласно формуле (3.1), момент которой

.

Систему сходящихся сил ( F ₁ , F ₂ , F_n) заменим вектором , который равен векторной сумме сил:

                                                      (5.6)

систему сил можно привести к главному вектору , приложенному в центр приведения, и главному моменту  относительно этого центра приведения.

Приведем формулы для вычисления главного вектора и главного момента.

Для любой произвольной системы сил

.                                                           (5.9)

Проецируя  на оси координат, получаем:

.                                     (5.10)

По проекциям определяют модуль главного вектора, а направление - по направляющим косинусам:

                                                                        (5.11)

.

Главный момент  тоже имеет проекции на оси координат m_x, m_y, m_z, которые можно определить, используя связь момента силы относительно оси с проекцией векторного момента этой силы относительно точки на оси. Тогда

,                                                                    (5.12)

.

Плоская система сил

Напомним, что плоской системой сил, приложенных к твердому телу, называют такую систему сил, линии действия которых лежат в одной плоскости, например, в плоскости xoy прямоугольной системы координат.

Для плоской системы сил главный вектор  лежит в плоскости действия сил. Все присоединенные пары сил тоже лежат в этой плоскости. Следовательно, векторные моменты этих пар перпендикулярны плоскости действия сил и взаимно параллельны.

Приведем формулы для вычисления главного вектора и главного момента для плоской системы. Согласно (5.8) и (5.9) для вычисления главного вектора имеем

                                                    (5.13)

.

Главный момент плоской системы перпендикулярен плоскости действия главного вектора. Если ось z перпендикулярна плоскости xoy, то координаты главного момента относительно центра приведения О, согласно (5.2) равны

                                 (5.14)

Здесь M ₀ – z- я компонента алгебраического главного момента.

Для плоской системы сил вместо векторного главного момента  используют понятие алгебраического главного момента M ₀ .

Сформулируем основную теорему статики для плоской системы сил, действующих на твердое тело:

 любая произвольная плоская система сил, приложенных к твердому телу, эквивалентна системе, состоящей из одной силы приложенной в какой-либо точке О тела и раной главному вектору , и одной пары, момент которой равен алгебраическому главному моменту M₀.

5.6. Теорема Вариньона для системы сходящихся сил (теорема о моменте равнодействующей)

Теорема. Момент относительно центра О равнодействующей  системы сходящихся сил , расположенных в одной плоскости, равен алгебраической сумме моментов сил системы относительно того же центра:

.             (5.15)

Здесь .

	Например, момент силы m0(F) (рис.5.8) определяется относительно начала координат по формуле m0(F)= -F·h, где h неизвестно. Воспользуемся теоремой Вариньона: M0(F)= M0(Fx)+ M0(Fy)=x0Fy-y0Fx.
Рис.5.8