Момент силы относительно центра в плоскости

Момент силы относительно центра и оси

Моментом силы (моменты пар сил имеют противоположные относительно центра О называется вектор  равный векторному произведению радиуса вектора , соединяющего центр О с точкой приложения силы А, на саму силу .

.                  (5.1) Вычислим  аналитически (рис.5.1). Пусть заданы проекции радиус-вектора  (xA, yA, zx) и проекции силы .
	Рис.5.1

Тогда, раскрывая векторное произведение в (5.1), по известной формуле векторной алгебры имеем:

                 (5.2)

где , ,  - единичные орты.

Поскольку , то  - координаты момента  на оси x , y , z, которые соответственно равны:

m_x=y_AF_z- z_AF_y, m_y=z_AF_x- x_AF_z, m_z=x_AF_y- y_AF_x

Моментом силы  относительно оси будем называть проекцию на эту ось вектора момента , т. е. моменты силы относительно осей x , y , z соответственно. С помощью формул (5.2), момент силы относительно оси можно вычислить, зная проекции силы и координаты точки ее приложения.

	направляющим косинусам:                          (5.2а)
Рис.5.2	На практике удобно пользоваться следующими

Зная моменты силы относительно осей m_x, m_y, m_z , можно определить модуль момента силы  относительно центра (рис.5.2) и его направление по правилами для определения моментов  (рис.5.3).

· Если сила параллельна оси, то ее момент относительно этой оси равен нулю (рис.5.3а).

а		б		в
Рис.5.3

· Если линия действия силы пересекает оси, то ее моменты относительно этих осей также равны нулю (рис.5.3б).

· Если сила перпендикулярна к оси, например к оси y (рис.5.3в) и кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью, например осью x, равно h, то момент силы относительно оси x равен произведению модуля силы на расстояние между линией действия силы и осью.

а		б
Рис.5.4

Если сила старается развернуть твердое тело вокруг оси против хода часовой стрелки относительно наблюдателя, стоящего на этой оси, то момент силы относительно этой оси положительный (рис.5.4а); если по ходу часовой стрелки, - отрицательный (рис.5.4б).

Момент силы относительно центра в плоскости

Пусть сила  расположена в плоскости xoy, т.е.  (рис.5.5).

Координаты точки приложения силы А: . Тогда из (5.2) получаем

.                                                                      (5.3)

Из (5.5) видно, что момент силы  перпендикулярен плоскости Oxy, т.е. направлен вдоль оси oz . Будем обозначать алгебраическое значение момента в плоской системе сил M _О( ) (рис.5.5).

Модуль момента m _О( ) m_z определяется численно удвоенной площадью треугольника ОАВ (рис.5.5). Обозначим площадь треугольника ОАВ через А.

Тогда  m_O=2 A, , h - перпендикуляр, опущенный на линию действия

	силы из точки О. Тогда m 0 ( F )= Fh .                                    (5.6) Здесь h – плечо момента (минимальное расстояние между линией). Формула (5.6) определяет модуль момента силы относительно выбранного центра в плоскости: модуль момента силы относительно
Рис.5.5	центра равен произведению силы на плечо.