Движение материальной точки в пустоте

Рассмотрим движение материальной точки, на которую действует только сила тяжести (сила, имеющая постоянную величину и направление).

Выберем неподвижную систему координат так, чтобы ее начало совпадало с начальным положением точки, а ось y направим вертикально вверх. Ось x расположим в плоскости движения (рис. 1.12)

Рис 1.12

Начальная скорость точки  образует угол  с осью x . Тогда начальные условия задачи запишутся

      (1.7)

Составим дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на оси координат. На точку действует сила тяжести, направленная по вертикали вниз. Тогда дифференциальные уравнения движения точки в плоскости имеют  вид

                                   (1.8)

Интегрируя первое уравнение (1.8) с учетом начальных условий (1.7), имеем

Интегрируя второе уравнение (1.8) с учетом начальных условий (1.7), имеем

Интегрируя третье уравнение (1.8) с учетом начальных условий (1.7) имеем

Из полученных уравнений видно, что точка движется в соприкасающейся плоскости xoy , согласно уравнениям движения 

.                         (1.9)

Проведем исследования уравнений движения точки (1.9). Исключим из них  параметр t (время), получим уравнение траектории движения в явном виде

,                                                   (1.10)

которое представляет собой уравнение параболы. Вершина параболы может быть определена из условия

,

т.е.                          ,

откуда

.                                                (1.11)

Дальность полета по горизонтали ОА (рис. 1.11), за счет симметричности траектории, равна

 .              (1.12)

Из выражения (1.12) видно, что

· при углах  и  тело падает в одну и ту же точку, т.к. ;

· максимальная дальность полета обеспечивается при , т.е. при , тогда дальность полета ОА (рис. 1.11) равна

.                                              (1.13)

Подставляя значение  в уравнение траектории (1.10), определим ординату вершины

.      (1.14)

Из (1.14) видно: максимальная высота полета ОД (рис. 1.12) обеспечивается, когда , т.е. при , и равна

.                                                  (1.14,а)

Отметим, что расстояние от начала координат до максимально возможной высоты полета зависит только от величины скорости.

Определим время , в течение которого тело поднимается вверх. Для этого достаточно решить уравнение , т.к. в тот момент, когда  достигнет наибольшего значения, проекция скорости на эту ось равна нулю, т.е.

V_y = =0.

Итак, используя второе уравнение из (1.9), имеем

,

откуда

.                                                (1”)

Полное время полета  определим исходя из того, что полет прекращается в тот момент, когда . Пользуясь первым уравнением в (1.9) и (1.12), находим

, откуда .                      (2”)

Сравнивая выражения (1”) и (2”), видно, что при любом угле наклона броска материальной точки полное время  полета в 2 раза больше времени  подъема.

Парабола безопасности

Проведем исследование движения тела (1.9) меняя углы наклона начальной скорости . Если при заданном значении начальной скорости  тела менять угол наклона начальной скорости  (формулы (1.9 – 1.10)), то получим множество разных траекторий снаряда (рис. 1.13).

Максимальная дальность полета снаряда по горизонтали  достигается при =45⁰, а максимальная высота полета равна при =90⁰.

Уравнение параболы, проходящей через точки D и С (рис 1.13), имеет вид

.                                              (1.15)

Эта парабола называется  параболой безопасности.

Рис.1.13

При этом все траектории, отвечающие значениям , заключенным в интервале , будут находиться внутри этой параболы.

Действительно, решая совместно уравнения (1.10) и (1.15), находим, что соответствующие линии (траектория полета и парабола безопасности) имеют единственную общую точку с координатами