Сила зависит от времени

Пример 6. Груз весом  начинает двигаться прямолинейно из состояния покоя вдоль гладкой горизонтальной поверхности под действием силы , направленной вдоль оси ox. Вычислим  уравнение движения груза.

Решение. Выберем начало отсчета О в начальном положении груза и направим ось o х в сторону предполагаемого движения (рис. 1.8).

Начальные условия задачи имеют вид:

при , , .

Рис.1.8

Составим  закон движения груза (1.5а):

.

Разделим переменные по известной схеме и проинтегрируем полученное уравнение с учетом начальных условий задачи

, откуда  .                (а)    

Для определения уравнения движения тела используем подстановку , получим

.

Разделим переменные (помножим правую и левую части уравнения на  и проинтегрируем полученное уравнение с учетом начальных условий

.

Вычисляя интегралы в правой и левой части уравнения, получим уравнение движения груза

.

4. Сила зависит от скорости

Пример 7. Точка массой m падает вертикально вниз без начальной скорости под действием силы тяжести, испытывая силу сопротивления воздуха , где k – положительная константа, которая зависит от плотности среды и площади проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению движения (рис.1.9). Найти уравнение движения точки.

Решение. Направим ось х вертикально вниз, выбрав за начало координат положение точки в нулевой момент времени, т.е.  (рис. 1.9). В произвольный момент времени прикладываем к точке действующие на нее силы  и . Составим дифференциальный закон движения (1.5а)    

.

Сократив на m правую и левую части уравнения и заменим  на , получим                                          

.                                            (а)                                                    

Разделим переменные, помножим на dt и разделим на  правую и левую части (а). Проинтегрируем полученное выражение с учетом начальных условий:

.

Вычисляя интегралы, получим

,

откуда  

 или ,                  (б)

поскольку  lg1=0.

Потенцируя уравнение (б) и далее решая относительно V, имеем

, откуда .              (в)

Переходя к пределу при , получим предельную скорость падения тела:

.

Предельную скорость можно получить проще из условия максимума скорости, т.е. равенства нулю ускорения (а):

Скорость, близкая к предельной, устанавливается довольно быстро (рис. 1.10). Величина скорости зависит от значения константы k. Если не учитывать сопротивление среды (k=0), то предельного значения скорости нет:  пунктирная кривая на рис 1.10); при увеличении константы k , предельная скорость уменьшается.

Рис.1.10

На рис 1.11 показано  падение тела массой  с высоты без парашюта (k 0,003) ­­– кривая В и с парашютом (k 0,4)  – кривая С. Если начальная скорость падения тела не нулевая (например ), то при падении тела с парашютом (k 0,4), скорость быстро затухает до своего критического значения – пунктирная кривая кривая D на рис.1.11.

Рис.1.11

Продолжим вычисление уравнения движения падающей точки. Заметим, что правую часть выражения (в) можно представить через гиперболический тангенс ( th х):

.

Тогда выражение (в) можно записать как

.

Подставим вместо V ее значение , разделяя переменные и интегрируя правую и левую части, получим

,

или

.

Итак, уравнение движения падающей точки имеет вид

.

Здесь ch х – гиперболический косинус.

Замечание. При вычислении интегралов полезно пользоваться таблицей интегралов.