Практическая работа №7

Исследование свойств функции, заданной аналитически

Теоретический материал

Исследование функций и построение их графиков

Схема исследования функции и построения еѐ графика:

1) найти область определения функции и определить точки разрыва, если они имеются;

2) исследовать функцию на четность и нечетность;

3) исследовать функцию на периодичность;

4) определить точки пересечения с осями координат, если это возможно;

5) найти критические точки функции;

6) определить промежутки монотонности и экстремумы функции;

7) определить промежутки вогнутости и выпуклости кривой и найти точки перегиба;

8) найти асимптоты графика функции;

9) используя результаты исследования, соединить полученные точки плавной кривой; иногда для большей точности графика находят несколько дополнительных точек; их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой.

Например. Исследовать функцию у = х³ – 6х² + 9х - 3 и построить еѐ график.

Решение:

1) функция определена на всей числовой прямой, т.е. D(у) = R;

2) у(-х) = (-х)³- 6(-х)² + 9(-х) – 3= - х³- 6х²- 9х – 3, функция не является ни четной, ни нечетной;

3) функция не является периодической;

4) найдем точку пересечения графика с осью ОУ: полагая х = 0, получим у = - 3; точки пересечения графика с осью ОХ в данном случае найти затруднительно.

5) найдем производную f '(х)= 3х²- 12х + 9; найдем критические точки

f '(х)=0, 3х²- 12х + 9= 0, получим х = 1 и х = 3 – критические точки.

6) в промежутках (-∞; 1) и (3; +∞) у' >0, функция возрастает; в промежутке (1; 3) у' <0, функция убывает. При переходе через точку х = 1 производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку х = 3 – с минуса на плюс. Значит ymax = у(1)= 1, ymin = у(3) = - 3. 7) найдем вторую производную у''= 6х – 12, у''=0, 6х – 12= 0, х = 2; в промежутке (-∞; 2) у'' <0, кривая выпукла вверх, в промежутке (2; +∞) у'' >0, кривая выпукла вниз.

Получаем точку перегиба (2;-1). 8) график функции асимптот не имеет;

9) используя полученные данные, строим искомый график.

Практическая работа №8

Решение прикладных задач с использованием метода Эйлера.

Текст задания

Вариант 1

1. Пусть последовательные значения функции, являющейся решением задачи Коши для дифференциального уравнения с начальными условиями  находится по Методу Эйлера . Найти значение , которое определяется уравнением при  с шагом .

2. Материальная точка с массой  г погружается в жидкость без начальной скорости. Сила сопротивления жидкости пропорциональна скорости погружения  с коэффициентом пропорциональности k=3. Найти зависимость скорости от времени. Вычислить значение скорости через 2 минуты после начала погружения.

Вариант 2

1. Пусть последовательные значения функции, являющейся решением задачи Коши для дифференциального уравнения с начальными условиями  находится по Методу Эйлера . Найти значение , которое определяется уравнением при  с шагом .

2. Найти уравнение движения тела и вычислить значение его скорости через 6 с после начала движения, если его скорость пропорциональна пройденному пути и тело проходит 75 м за 5 с, а 225 м за 10 с.

Вариант 3

1. Пусть последовательные значения функции, являющейся решением задачи Коши для дифференциального уравнения   с начальными условиями  находится по Методу Эйлера . Найти значение , которое определяется уравнением при  с шагом .

2. Материальная точка с массой  г погружается в жидкость без начальной скорости. Сила сопротивления жидкости пропорциональна скорости погружения  с коэффициентом пропорциональности k=4. Найти зависимость скорости от времени. Вычислить значение скорости через 2 минуты после начала погружения.