Числовые ряды. Сходимость рядов

Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел и₁, и₂,и₃,…,и _n … соединенных знаком сложения:

и₁+и₂₊,и₃+…+и _{n +} …=

Числа и₁, и₂,и₃,…,и _n… называются членами ряда, член и _n - общим членом или n -м членом ряда.

Ряд считается заданным, если известен его общий член и _n. Например, ряд с общим членом и _n= имеет вид

Более сложной является обратная задача: по нескольким первым членам ряда написать общий член.

Пример : Найти в простейшей форме общий член ряда:

а)    б)

Решение :  нетрудно убедиться, что для ряда а) общий член   , а для ряда б)

Рассмотрим суммы конечного числа членов ряда:

S₁=u₁, S₂=u₁+u₂, …, S_n=u₁+u₂+u₃+…+u_n.

Сумма n первых членов ряда S_n называется n -й частичной суммой ряда.

Определение : Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е.

Число S называется суммой ряда. В этом смысле можно записать

Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

Теорема ( необходимый признак сходимости). Если ряд сходиться, то предел его общего члена и _n при равен нулю, т.е.

Пример . Исследовать сходимость ряда

Решение:  т.е. необходимый признак сходимости ряда не выполняется, следовательно, ряд расходиться.

Теорема (признак сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами: причем члены первого ряда превосходят членов второго ряда, т.е. при любом n

u_{n ≤ .}

Тогда : а) если сходиться ряд (2), то сходиться и ряд(1);

б) если расходится ряд(1), то расходиться и ряд (2).

Пример . Исследовать сходимость ряда

.

Решение:

Сравним данный ряд со сходящимся геометрическим рядом

 ( его знаменатель q= <1)

Так как члены данного ряда, начиная со второго , меньше членов сходящегося геометрического ряда , то на основании признака сравнения ряд сходиться. 

Теорема (признак Даламбера). Пусть для ряда с положительными членами существует предел отношения (n+1)-го члена к n-му члену  Тогда, если D< 1, то ряд сходиться; если D> 1, то ряд расходиться; если D=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.

Пример . Исследовать сходимость ряда .

Решение:

. Тогда предел отношения будет равен

то по признаку Даламбера ряд сходиться.

Замечание 1. Если , то ряд расходиться.

Замечание 2. Если =1, то признак Даламбера ответа о сходимости не дает, и рекомендуется перейти к другим признакам сравнения.

Под знакочередующимся рядом понимают ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны:

u₁-u₂+u₃-u₄+_…+(-1)^n-1u_n+_{… ,} u_n>0.

Теорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине u ₁ > u ₂ …> u_n >_… и предел его общего члена при n равен нулю, т.е , то ряд сходиться, а его сумма не превосходит первого члена S ≤ u ₁ .

Пример.  Исследовать сходимость ряда

Решение :

Так как члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине  и предел общего члена , то по признаку Лейбница ряд сходиться.

Практическая работа №5