Внешняя и внутренняя меры ограниченного множества

Определение 1. Внешней мерой m^*E ограниченного множества E называется точная нижняя граница мер всевозможных открытых ограниченных множеств, содержащих множество E:

Очевидно, для всякого ограниченного множества E cуществует внешняя мера, причем 0 £ m*E < +¥.

Определение 2. Внутренней мерой m * E ограниченного множества E называется точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в множестве E:

m*E= .

Очевидно, что всякое ограниченное множество E имеет внутреннюю меру, причем 0 £ m_*E < +¥.

Теорема 1. Если G есть открытое ограниченное множество, то

m*G = m_*G = mG.

Теорема вытекает из следствия теоремы 1 и теоремы 4.

Теорема 2. Если F есть замкнутое ограниченное множество, то

m*F = m_*F = mF.

Теорема вытекает из следствия теоремы 2 и теоремы 5.

Теорема 3. Для всякого ограниченного множества Е

m_*E £ m*E.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Gограниченное открытое множество, содержащее множество Е. Какое бы замкнутое подмножество Fмножества Е ни взять, будет F Ì Gи, в силу теоремы 3, mF £ mG. Отсюда m_*E £ mG. Но так как это верно для всякого открытого ограниченного множества G, содержащего Е, то m_*E £ m*E,что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Пусть A и B суть ограниченные множества. Если A Ì В, то

m_*A £ m_*В, m^*A £ m^*B.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Оба неравенства доказываются аналогично. Остановимся для примера на первом из них.

Пусть S есть множество, состоящее из мер всевозможных замкнутых подмножеств множества А, а Т такое же множество для множества В. Тогда m_*A = sup S, m_*B = sup T.

Пусть F есть замкнутое подмножество А, тогда и подавно F является подмножеством множества В. Отсюда следует, что S Ì T, и теорема вытекает из того известного факта, что точная верхняя граница подмножества какого-либо множества не превосходит точной верхней границы самого этого множества.

Теорема 5. Если ограниченное множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества множеств Е _k

E= , то m*E£ .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Теорема тривиальна в случае расходимости ряда . Предположим, что этот ряд сходится. Взяв произвольное e > 0, мы можем найти такие открытые ограниченные множества G_k, что

G_kÉE_k, mG_k<m*E_k+ (R=1, 2, 3, …).

Назовем через D какой-нибудь интервал, содержащий множество Е. Тогда ЕÌD , откуда, в силу теоремы 3.

m*E £ m  = m  £ ,

и теорема вытекает из произвольности числа e.

Теорема 6. Если ограниченное множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества взаимно не налегающих множеств Е_k

Е= (E_kE_k’=0, k¹k’),

то

m*E³ _*E_k.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим первые n множеств Е₁, Е₂,... …, Е_n. Для любого e > 0 существуют такие замкнутые множества F_k, что

F_kÌE_k, mF_k>m_*E_k- (k=1, 2, …, n).

Множества F_k попарно не пересекаются и сумма их замкнута. Отсюда, применяя теорему 6, получим

m_*E ³ m = mF_k > m_*E_k - e.

Так как e > 0 произвольно, то m_*E_k £ m_*E.

Этим теорема доказана для случая конечного числа слагаемых множеств. Если же этих множеств имеется счетное множество, то, опираясь на произвольность числа n, мы установим сходимость ряда m_*E_k и неравенство m_*E_k £ m_*E.

Легко видеть, что теорема перестает быть справедливой, если отбросить условие отсутствия общих точек у множеств E_k. Например, если Е₁=[0, 1], Е₂=[0, 1] Е=Е₁+Е₂, то m_*E=1, m_*E₁+m_*E₂=2.

Теорема 7 . Пусть Е ограниченное множество. Если D интервал, содержаций это множество, то

m*E+m_*[C_DE]=mD.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольное e>0 и найдем такое замкнутое множество F, что FÌC_DЕ, mF>m_*[C_DE]- e.

Если мы положим G=C_DF, то множество G будет открытым ограниченным множеством, содержащим множество Е, откуда, с помощью леммы находим

m_*E £ mG = mD - mF < mD - m_*[C_DE] + e.

Отсюда, в силу произвольности e, следует, что

m*E + m_*[C_DE] £ mD.

Для того чтобы получить обратное неравенство

m*E + m_*[C_DE] ³ mD,      (*)

приходится рассуждать тоньше.

Возьмем e>0 и найдем такое открытое ограниченное множество G₀, что G₀ É Е, mG₀ < m*E + .

Назовем концы интервала D через A и B и построим такой содержащийся в D интервал (a, b), что

A < a < A+ , В - < b < B.

Сделав это, положим G = DG₀ + (A, a) + (b, B).

Множество G открыто, ограничено, содержит E и таково, что

mG < m*E + e.

Но кроме того (и это здесь основное) множество F = C_DG оказывается замкнутым, что вытекает из легко проверяемого тождества F = [а, b] × CG.

Так как F Ì С_DЕ, то m_*[С_DЕ] ³ mF = mD - mG > mD - m*E -e.

Отсюда, в силу произвольности e, следует неравенство (*), а с ним и теорема.

Следствие. В обозначениях теоремы будет

m*[C_DЕ] - m_*[C_DЕ] = m*E – m_*E.

В самом деле, если мы переменим роли множеств Е и С_DЕ, то получим, что m*[C_DЕ] + m_*Е = mD, откуда

m*[C_DЕ] + m_*E = m*E + m_*[C_DE],

а это равносильно доказываемому утверждению.

Измеримые множества

Определение. Ограниченные множество Еназывается измеримым, если его внешняя и внутренняя меры равны друг другу :

m^*E=m_*E.

Их общее значение называется мерой множества E и обозначается через mE:     

                                           mE=m^*E=m_*E .