Мера ограниченного замкнутого множества

 

Пусть F непустое ограниченное замкнутое множество и S наименьший сегмент, содержащий множество F. Как известно, множество C_SF открыто и поэтому имеет определенную меру m[C_SF]. Это дает возможность установить следующее определение.

Определение 1. Мерой непустого ограниченного замкнутого множества F называется число

где S=[A, B] есть наименьший сегмент, содержащий множество F.

Для пустого замкнутого множества меру определять не нужно, ибо такое множество открыто и мерой его мы уже условились считать число 0. Кроме того, непустое замкнутое ограниченное множество не может оказаться открытым множеством, так что нет надобности ставить вопрос о связи определений меры открытого и замкнутого множества.

Рассмотрим некоторые примеры.

1. F=[a, b]. В этом случае, очевидно, S=[a, b] и C_sF=0, так, что m [a, b] = b – a, т. е. мера сегмента равна его длине.

2. F есть сумма конечного числа попарно не пересекающихся сегментов

Можно считать, что сегменты перенумерованы в порядке возрастания левых концов; тогда, очевидно,

    (k=1, 2, … n-1),

откуда следует, что

 

 

Стало быть,

т.е. мера суммы конечного числа попарно не пересекающихся сегментов равна сумме длин этих сегментов.

3. Пусть (Канторово совершенное множество). В этом случае

и  откуда

т.е. Канторово совершенное множество  имеет меру нуль. Этот факт интересно сопоставить с тем, что мощность множества  есть с.

Теорема 1. Мера ограниченного замкнутого множества F не отрицательна.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если пользоваться обозначениями определения 1, то очевидно Ì (А, В), и по теореме 1,  откуда и следует, что

Лемма. Пусть F ограниченное замкнутое множество, содержащееся в интервале D , тогда

D- [ C_DF]

Д о к а з а т е л ь с т в о. Множество C_DF – открыто, так что лемма имеет смысл. Пусть D=(A, B), а наименьший сегмент, содержащий множество F, есть S=[a, b] (рис.1.).

Тогда легко видеть, что С_DF=C_DS+C_sF.

                  

Рис. 1

 

Оба слагаемые правой части открыты и взаимно не налегают. Значит, по свойству аддитивности меры (теорема 2) будет m[C_DF]=m[C_DS]+m[C_sF].

Но, очевидно,C_DS = (A, a) + (b, B), откуда

                           m[C_D] = (a-A) + (B-b),

и следовательно,

                      m[C_DF]=(B-A)-(b-a)+m[C_sF],

что и доказывает лемму.

Теорема 2. Пусть F ₁ и F ₂ два ограниченных замкнутых множества. Если F ₁ Ì F ₂ , то mF ₁£ mF ₂ .

 Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D есть интервал, содержащий множество F₂. Тогда легко проверить, что С_DF₁  É C_DF₂, и, стало быть, m[C_DF₁ ]  [ C_DF₂ ], так что дело сводиться к предыдущей лемме.

Следствие. Мера ограниченного замкнутого множества F есть точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в F .

Теорема 3. Пусть F замкнутое множество, а G открытое ограниченное множество. Если F Ì G , то mF mG .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D есть интервал, содержащий множество G. Легко видеть, что D= G+C_DF, откуда, в силу теоремы 3, получаем, что mD mG + m[C_DF], и дело сводится к лемме.

Теорема 4. Мера открытого ограниченного множества G есть точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в G .

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу предыдущей теоремы, mG есть точная граница мер замкнутых множеств FÌG, и надо доказать, что меры этих замкнутых множеств могут быть сколь угодно близки к mG.

Пусть составляющие интервалы множеств G суть(l_k, m_k ) (k=1, 2, …), так что mG = (m_k - l_k).

Возьмем произвольное e > 0 и найдем столь большое натуральное n, чтобы оказалось m_k - l_k)> mG - .

Затем для каждого k (k=1, 2, …, n) найдем такой сегмент [a_k, b_k], чтобы было

[a_k b_k,] Ì (l_k, m_k), m[a_k, b_k] > m(l_k, m_k) - ,

(для чего достаточно взять такое h_k, что

0 < h_k < min[ , ]

и положить a_k = l_k+h_k, b_k =m_k - h_k). Положим, наконец,

F₀= _k, b_k].

Тогда, очевидно, F₀ Ì G, F₀ замкнуто и

mF₀= (b_k-a_k) > (m_k-l_k) - > mG - e.

 

Так как e произвольно мало, то теорема доказана.

Теорема 5. Мера замкнутого ограниченного множества F есть точная нижняя граница мер всевозможных открытых ограниченных множеств, содержащих F .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Как и выше, достаточно показать, что можно построить открытое ограниченное множество, содержащее множество F и имеющее меру, сколь угодно близкую к mF.

 С этой целью возьмем интервал D, содержащий множество F, и рассмотрим открытое множество C_DF. Каково бы ни было e>0, мы можем (в силу теоремы 4) найти замкнутое множество Ф такое, что Ф Ì С_DF, mФ>m[C_DF] - e.

Положим G₀ = С_DФ. Легко видеть, что G₀ есть открытое множество, содержащее F. Вместе с тем

mG₀ = mD - mФ < mD - m[C_DF] + e = mF + e

Теорема доказана.

Теорема 6 . Пусть ограниченное замкнутое множество F есть сумма конечного числа взаимно не пересекающихся замкнутых множеств

F =       (F_kF_k’ = 0, k ¹ k’).

Тогда

 

mF =

 

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, достаточно рассмотреть случай двух слагаемых F = F₁+F₂     (F₁F₂=0).

Возьмем произвольное e > 0 и подберем два ограниченных открытых множества G₁ и G₂ так, чтобы оказалось

G_i É F_i     (i = 1, 2),

что возможно в силу предыдущей теоремы.

Положим G = G₁ + G₂.

Тогда G есть открытое ограниченное множество, содержащее множество F. Значит,

mF £ mG £ mG₁ + mG₂ < mF₁ + mF₂ + e.

В силу произвольности e, отсюда следует что

mF £ mF₁ + mF₂        (*)

С другой стороны, в силу теоремы отделимости, существуют такие открытые множества B₁ и B₂, что

B_i É F_i (i = 1, 2), B₁B₂ = 0.

Отметив это возьмем произвольное e > 0 и найдем такое открытое ограниченное множество G, что G É F, mG < mF + e.

Тогда множества B₁G и B₂G суть открытые ограниченные взаимно не пересекающиеся множества, содержащие, соответственно, множества F₁ и F₂.

Значит,

MF₁ + mF₂ £ m(B₁G) + m(B₂G) = m [B₁G + B₂G]

(здесь мы воспользовались аддитивностью меры для открытых множеств). Но B₁G + B₂G Ì G, откуда

mF₁+mF₂ £ mG < mF+e   

и в силу произвольности e,

mF₁ + mF₂ £ mF.      (^*_*)

Сопоставляя (^*) и (^*_*), получим

mF = mF₁ + mF₂,

что и требовалось доказать.